Espace R0

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• E est un espace R₀ ;
• Pour tout x de E, l'adhérence de {x} ne contient que les points dont x n'est pas topologiquement distinct ;
• L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers les points dont x n'est pas topologiquement distinct ;
• Le quotient de Kolmogorov de E est T₁ ;
• Tout ouvert est une réunion de fermés.

Un espace est T₁ si et seulement s'il est à la fois R₀ et T₀.

Soit ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Pour tout n ∈ ℤ, on pose G_n = ℤ\{n, n + 1} si n est pair et G_n = ℤ\{n – 1, n} si n est impair. L'ensemble des G_n est une prébase sur ℤ : les réunions quelconques d'intersections finies de parties de ℤ de la forme G_n constituent une topologie sur ℤ. L'espace topologique ainsi créé est R₀ ; il n'est en revanche pas T₀ (et donc pas T₁) : en effet, pour tout entier pair n, les points n et n+1 sont indiscernables.

• Portail des mathématiques