Espace strictement convexe
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En mathématiques, un espace strictement convexe est un espace normé dont la boule unité est strictement convexe dans le sens précisé ci-dessous. Cette propriété de la norme est moins forte que celle possédée par la norme d'un espace uniformément convexe ou d'un espace réflexif (à un changement de norme équivalente près), mais elle permet toutefois aux espaces strictement convexes d'avoir certaines des propriétés remarquables d'espaces plus structurés. Une norme conférant à l'espace vectoriel qu'elle équipe la propriété de stricte convexité est appelée une norme arrondie.
La définition peut prendre plusieurs formes équivalentes[1].
Espace strictement convexe — Un espace strictement convexe est un espace normé dont la norme notée vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- ;
- implique l'existence de scalaires et tels que et ;
- pour tout (ou un) , l'application est strictement convexe.
![{\displaystyle \forall z\in \left]x,y\right[\quad \|z\|<\max(\|x\|,\|y\|)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a963347ba419dd8b4bf6be2c338462c71943437c)
Une norme conférant à l'espace vectoriel qu'elle équipe la propriété de stricte convexité est appelée une norme arrondie.
La stricte convexité d'un espace normé donné n'est pas conservée par changement de norme équivalente : un espace de dimension finie est strictement convexe pour ses normes euclidiennes mais pas pour ses normes ℓ1 et ℓ∞, par exemple, alors que toutes ses normes sont équivalentes. Il s'agit donc plus d'une propriété de la norme que de la topologie qu'elle définit. Pour cette raison, on parle parfois de norme strictement convexe[2], mais cela introduit une ambiguïté de langage dont il faudra se méfier, car l'application x ↦ ║x║ n'est jamais strictement convexe, puisqu'elle est positivement homogène de degré 1 : ║t x║ = t ║x║ pour tout t positif. C'est en réalité la puissance p > 1 de la norme qui est strictement convexe, comme l'indique la définition 3. Certains auteurs[3] préfèrent donc utiliser l'expression de norme arrondie, pour éviter l'ambiguïté relevée ci-dessus.
