Boule (mathématiques)

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Si ${\displaystyle m}$ est un point de l'espace et ${\displaystyle r}$ un nombre réel strictement positif :

• la boule fermée centrée en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$ est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à ${\displaystyle m}$ est inférieure ou égale à ${\displaystyle r}$ ;
• la boule ouverte centrée en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$ est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à ${\displaystyle m}$ est strictement inférieure à ${\displaystyle r}$.

Cette boule fermée contient en particulier la sphère^{[N 1]} centrée en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$, la boule ouverte correspondante étant constituée l'ensemble des points de la boule fermée privé des points de cette sphère.

La boule fermée centré en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$ est un solide de révolution obtenue par la rotation d'un disque centré en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$ autour de n'importe lequel de ses diamètres.

En notant ${\displaystyle m=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ les coordonnées du point ${\displaystyle m}$ :

• la boule fermée centrée en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$ est l'ensemble des points ${\displaystyle (x,y,z)}$ de l'espace vérifiant

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}}$ ;

• la boule ouverte centrée en ${\displaystyle m}$ de rayon ${\displaystyle r}$ est l'ensemble des points ${\displaystyle (x,y,z)}$ de l'espace vérifiant

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}<r^{2}}$.

On peut paramétrer une boule centrée en ${\displaystyle m=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ de rayon ${\displaystyle r}$, c'est l'ensemble des points ${\displaystyle (x,y,z)}$ de l'espace de la forme

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}x&\leq \ &r\cos \theta \;\cos \phi \\y&\leq \ &r\cos \theta \;\sin \phi \\z&\leq \ &r\sin \theta \end{array}}\right.\qquad \left({\frac {-\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\quad {\mbox{et}}\quad -\pi \leq \phi \leq \pi \right)}$

pour la boule fermée, une paramétrisation pour la boule ouverte correspondante étant obtenue en remplaçant les trois inégalités larges par des inégalités strictes.

Le volume ${\displaystyle V}$ d'une boule de rayon ${\displaystyle r}$ est donné par

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$.

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Dans un espace métrique ${\displaystyle (E,d)}$^[1], en particulier dans un espace euclidien voire un espace vectoriel normé :

• la boule fermée centrée en un point ${\displaystyle P}$ et de rayon réel ${\displaystyle r}$ est l'ensemble ${\displaystyle B'(P,r)}$ des points dont la distance à ${\displaystyle P}$ est inférieure ou égale à ${\displaystyle r}$ :

$${\displaystyle B'(P,r):=\left\{M\in E\,\mid \,d(M,P)\leq r\right\}}$$

• la boule ouverte correspondante est l'ensemble ${\displaystyle B(P,r)}$ des points dont la distance à ${\displaystyle P}$ est strictement inférieure à ${\displaystyle r}$ :

$${\displaystyle B(P,r):=\left\{M\in E\,\mid \,d(M,P)<r\right\}}$$

Cette définition peut être étendue aux espaces pseudométriques qui généralisent la notion d'espace métrique.

Dans le cas où ${\displaystyle E}$ est un espace vectoriel normée, la boule fermée (resp. ouverte) centrée en l'origine (le vecteur nul de ${\displaystyle E}$) et de rayon égal à 1 est appelée boule unité fermée (resp. ouverte).

Exemples

• Dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ muni de la distance usuelle, les boules sont les intervalles de la forme ${\displaystyle [a-r,a+r]}$ (fermés) et ${\displaystyle ]a-r,a+r[}$ (ouverts).
• Les boules d'un plan euclidien sont aussi appelées des disques.
• Dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ la forme géométrique d’une boule dépend de la distance choisie : avec la distance euclidienne les boules sont sphériques, tandis qu'avec la distance de Tchebychev elles prennent une forme cubique.
• Pour un ensemble ${\displaystyle X}$ muni de la distance discrète ${\displaystyle d(x,y)=1}$ si ${\displaystyle x\neq y}$, ${\displaystyle 0}$ sinon. Les boules de centre ${\displaystyle a\in X}$ sont ${\displaystyle \{a\}}$ si ${\displaystyle 0\leq r<1}$ et ${\displaystyle X}$ si ${\displaystyle r\geq 1}$.
• Dans un espace muni d'une distance ultramétrique (comme l'anneau des entiers p-adiques ou l'espace des suites d'entiers), les boules sont des ouverts-fermés, tout point d'une boule en est un centre et si deux boules se rencontrent, l'une est contenue dans l'autre.

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Dans un espace métrique ${\displaystyle (X,d)}$, on définit les ouverts comme l'ensemble des parties ${\displaystyle U\subset X}$ telles que^[2] :

pour tout ${\displaystyle x\in U}$, il existe un rayon ${\displaystyle r>0}$ avec ${\displaystyle B(x,r)\subset U}$.

Autrement dit, les boules ouvertes forment une base de la topologie associée à ${\displaystyle d}$^[3]. Et les boules (ouvertes ou fermées) de même centre et de rayons strictement positifs forment un système fondamental de voisinages de ce centre. En se limitant à une suite de rayons arbitrairement petits, on obtient même un système fondamental dénombrable de voisinages^[4],[5].

Ces propriétés expliquent pourquoi les notions de limite et de continuité soient définies à partir des boules ouvertes dans un espace métrique. Elles justifient également la terminologie : une boule ouverte (resp. fermée) est toujours un ouvert (resp. un fermé)^[6].

Toutes les boules d'un espace métrique sont des parties bornées et une partie est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule.

Enfin, les propriétés « être séparable », « être de Lindelöf » et « tout ouvert est une réunion dénombrable de boules ouvertes » sont équivalentes^[7].

Dans un espace vectoriel normé

Dans un espace vectoriel normé, la distance définie par ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ est compatible avec la structure d'espace vectoriel^{[N 2]}. Ainsi toutes les boules ouvertes (resp. fermées) de rayons strictement positifs sont semblables par translation et homothétie, et toute boule est symétrique par rapport à son centre^[8].

Sur un espace vectoriel normé réel ou complexe, on peut définir la notion de segment et donc d'ensemble convexe. À l'aide de l'inégalité triangulaire on montre que les boules sont convexes^[9].

Dans un espace vectoriel réel normé, l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte de même centre et de même rayon, et l'adhérence d'une boule ouverte non vide est la boule fermée correspondante. Par conséquent, la frontière d'une boule non vide est la sphère correspondante.

Attention, cela est faux dans un espace métrique quelconque. On a seulement^[4] :

${\displaystyle {\overline {B(P,r)}}\subset {\overline {B'(P,r)}}=B'(P,r)}$ et ${\displaystyle \operatorname {Int} (B'(P,r))\supset \operatorname {Int} (B(P,r))=B(P,r)}$

Par exemple, si ${\displaystyle X}$ est un ensemble contenant deux points distincts ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ muni de la distance discrète, alors

${\displaystyle B(a,1)=\{a\}={\overline {B(a,1)}}\neq B'(a,1)=\{a,b\}}$.