Espace uniformément convexe

Supposons, sans perte de généralité, que ║f║ = 1 et soit (x_n) une suite de vecteurs unitaires telle que f(x_n) → 1. Alors, par encadrement, ║(x_m + x_n)/2║ → 1 quand m, n → ∞ donc, par convexité uniforme, la suite (x_n) est de Cauchy. Sa limite fournit le x souhaité. Il est unique par convexité stricte.

Puisque E (identifié à son image dans E'' par l'inclusion isométrique canonique) est complet, il est fortement fermé dans E''. Pour montrer qu'il lui est égal, il suffit donc de montrer que

${\displaystyle \forall z\in E'',\forall \varepsilon >0,\exists y\in E,\|z-y\|\leq \varepsilon .}$

Supposons, sans perte de généralité, que ║z║ = 1 et notons B la boule unité fermée de E et B'' celle de E''. Pour la topologie faible-*, comme B est dense dans B'' (Théorème de Goldstine, vrai pour n'importe quel espace vectoriel normé E), z appartient à son adhérence, donc à celle de B ∩ V pour tout voisinage V de z.

Considérons alors un élément y de B ∩ V, pour un voisinage V de z choisi de la façon suivante :

• δ > 0 correspond au ε dans la définition de la convexité uniforme,
• f ∈ E' est tel que ${\displaystyle \|f\|=1{\text{ et }}|\langle z,f\rangle -1|\leq \delta ,}$
• ${\displaystyle V=\{x\in E''~;~|\langle x,f\rangle -1|\leq \delta \}.}$

Pour tout x ∈ B ∩ V on a alors :

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\geq \left|\left\langle {\frac {x+y}{2}},f\right\rangle \right|\geq 1-\delta {\text{ donc }}\|x-y\|\leq \varepsilon .}$

Ainsi, B ∩ V est inclus dans le fermé y + εB'' donc son adhérence (faible-*) aussi. Comme z appartient à cette adhérence, il est bien à distance au plus ε de l'élément y de E.