Groupe totalement discontinu

Dans un groupe localement compact et totalement discontinu, chaque voisinage de l'identité contient un sous-groupe ouvert compact. Réciproquement, si dans un groupe, l'identité a une base de voisinages formée de sous-groupes ouverts compacts, alors il est localement compact et totalement discontinu^[2].

Soient G un groupe localement compact et totalement discontinu, U un sous-groupe ouvert compact de G et ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme continu de G.

On note :

${\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}$

${\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}$

${\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}$

${\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}$

On dit que U est bien rangé pour ${\displaystyle \alpha }$ si ${\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$ et si ${\displaystyle U_{++}}$ et ${\displaystyle U_{--}}$ sont fermés.

L'indice de ${\displaystyle \alpha (U_{+})}$ dans ${\displaystyle U_{+}}$ est fini et indépendant de U qui est bien rangé pour ${\displaystyle \alpha }$. On définit la fonction d'échelle ${\displaystyle s(\alpha )}$ comme cet indice. La restriction aux automorphismes intérieurs donne une fonction sur G qui a des propriétés intéressantes. Pour x dans G, en notant ${\displaystyle s(x)=s(\alpha _{x})}$, où ${\displaystyle \alpha _{x}:y\mapsto xyx^{-1}}$ est l'automorphisme intérieur associé, on a notamment les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle s}$ est continue ;
• ${\displaystyle s(x)=1}$, chaque fois que x dans G est un élément compact ;
• ${\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$ pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ ;
• la fonction modulaire sur G est donnée par ${\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$.

La fonction d'échelle a été utilisée pour prouver une conjecture de Hofmann et Mukherja et a été explicitement calculée pour les groupes de Lie p-adiques et les groupes linéaires sur les corps gauches locaux par Helge Glöckner.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Totally disconnected group » (voir la liste des auteurs).

• David van Dantzig, « Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen », Compositio Mathematica, vol. 3,‎ 1936, p. 408-426 (lire en ligne)
• Armand Borel et Nolan Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, vol. 67, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, coll. « Mathematical surveys and monographs », 2000 (ISBN 978-0-8218-0851-1, MR 1721403)
• Colin J. Bushnell et Guy Henniart, The local Langlands conjecture for GL(2), vol. 335, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] », 2006 (ISBN 978-3-540-31486-8, DOI 10.1007/3-540-31511-X, MR 2234120)
• Pierre-Emmanuel Caprace et Nicolas Monod, « Decomposing locally compact groups into simple pieces », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 150,‎ 2011, p. 97-128 (DOI 10.1017/S0305004110000368, Bibcode 2011MPCPS.150...97C, MR 2739075, arXiv 0811.4101)
• Pierre Cartier, « Representations of ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adic groups: a survey », dans Armand Borel et William Casselman, Automorphic Forms, Representations, and L-Functions, vol. 33, Part 1, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, coll. « Proceedings of Symposia in Pure Mathematics », 1979 (ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546593, lire en ligne), p. 111-155
• G. A. Willis, « The structure of totally disconnected, locally compact groups », Mathematische Annalen, vol. 300,‎ 1994, p. 341-363 (lire en ligne)

• Portail des mathématiques