Fonction caractéristique (théorie des ensembles)

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Le principal intérêt de ces fonctions est de transformer des relations entre ensembles en relations entre des fonctions^[1].

Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors

${\displaystyle \left(A\subseteq B\right)\ \Leftrightarrow \ \left(\chi _{A}\leqslant \chi _{B}\right)}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{A^{c}}&=1-\chi _{A},\\\chi _{A\cap B}&=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}=\chi _{A}\times \chi _{B},\\\chi _{A\cup B}&=\max\{{\chi _{A},\chi _{B}}\}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\times \chi _{B},\\\chi _{A\triangle B}&=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\times \chi _{B}.\end{aligned}}}$

L'application

${\displaystyle \chi$ :{\mathcal {P}}(E)\to \{0,1\}^{E},\quad A\mapsto \chi _{A}}

est une bijection, de l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ des parties de E dans l'ensemble {0, 1}^E des applications de E dans {0, 1}.

Sa bijection réciproque est l'application

${\displaystyle \{0,1\}^{E}\to {\mathcal {P}}(E),\quad f\mapsto f^{-1}(\{1\})}$,

où f ⁻¹({1}) désigne l'image réciproque par f du singleton {1}, c'est-à-dire la partie de E constituée des éléments x tels que f(x) = 1.

Si ${\displaystyle F}$ est une partie d'un espace topologique E et si la paire {0, 1} est munie de la topologie discrète (qui est la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), l'ensemble des points de E en lesquels la fonction χ_F : E → {0, 1} est discontinue est la frontière de F.

Exemple

${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ et ${\displaystyle F=}$ ℚ

χ_ℚ : ℝ → {0, 1} est la fonction qui associe 1 à tout rationnel et 0 à tout irrationnel.

La fonction de Dirichlet : ℝ → ℝ est définie de la même manière (autrement dit : sa corestriction à {0, 1} est χ_ℚ).

Dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, la frontière de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans ℝ) donc χ_ℚ est discontinue partout.

La fonction de Dirichlet est donc également discontinue partout.

Si (E, Ω) est un espace mesurable (c'est-à-dire si Ω est une tribu sur E), une partie de E est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable.

La fonction indicatrice régularisée de l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ peut être obtenue par la formule

${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{[a,b]}(x)=((\operatorname {sgn}((x-a)(b-x))+1)/2}$

où ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ est la fonction signe ; elle vaut 1/2 au lieu de 1 aux bornes de l'intervalle. Pour un pavé ${\displaystyle \Pi [a_{i},b_{i}]}$ on utilise un produit cartésien de telles fonctions.