Fonction gamma inverse

Suite aux définitions du produit infini pour la fonction gamma, dues respectivement à Euler et à Weierstrass, on obtient le développement du produit infini suivant pour la fonction gamma réciproque :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\mathrm {e} ^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$

où γ = 0,577216... est la constante d'Euler-Mascheroni. Ces développements sont valables pour tous les nombres complexes z .

Le développement en série de Taylor autour de 0 donne^[1]:

${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni. Pour n > 2, le coefficient a_n pour le terme zⁿ peut être calculé récursivement comme^[2],[3],[4]

${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$

où ζ est la fonction zêta de Riemann. Une représentation intégrale de ces coefficients a été récemment trouvée par Fekih-Ahmed (2014)^[4] :

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ \operatorname {Im} \left[\ \left(\ln(t)-\mathrm {i} \pi \right)^{n}\ \right]\ \mathrm {d} t~.}$

Pour les petites valeurs, on obtient les valeurs suivantes :

Fekih-Ahmed (2014) ^[4] donne également une approximation pour ${\displaystyle a_{n}}$ :

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ \mathrm {e} ^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$

où ${\displaystyle z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,}$ et ${\displaystyle W_{-1}}$ est la branche négative de la fonction W de Lambert.

Le développement de Taylor autour de 1 a les mêmes coefficients (mais décalés), c'est-à-dire :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$

(l'inverse de la fonction pi de Gauss).

Lorsque |z| tend vers l'infini à arg(z) constant, on a le développement suivant :

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{pour}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$

La fonction gamma inverse est un exemple classique d'application de la méthode du point col^[5],[6]. On a par exemple :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\mathrm {e} ^{z}z^{1-z}}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\exp \left[-z\left(1-\theta \cot \theta +\ln {\frac {\theta }{\sin \theta }}\right)\right]\,\mathrm {d} \theta ,}$

Une représentation intégrale due à Hermann Hankel est

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\mathrm {i} }{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t,}$

où H est le contour de Hankel, c'est-à-dire le chemin encerclant 0 dans le sens positif, commençant et revenant à l'infini positif par rapport à la branche coupée le long de l'axe réel positif. Selon Schmelzer et Trefethen, l'évaluation numérique de l'intégrale de Hankel est la base de certaines des meilleures méthodes de calcul de la fonction gamma^[5].

Pour les entiers positifs ${\displaystyle n\geq 1}$, il existe une intégrale pour la fonction factorielle inverse donnée par ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}}\ \mathrm {d} t.}$

De même, pour tout réel ${\displaystyle c>0}$ et ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tel que ${\displaystyle \Re e(z)>0}$ on a l'intégrale suivante pour la fonction gamma inverse le long de l'axe réel sous la forme de^[8] :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\mathrm {i} t)^{-z}\mathrm {e} ^{c+\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t,}$

où le cas particulier où ${\displaystyle z=n+1/2}$ fournit une relation correspondante pour la fonction factorielle double inverse, ${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$