Théorème de Riemann-Roch

Une surface de Riemann ${\displaystyle X}$ est un espace topologique qui est localement homéomorphe à un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, l'ensemble des nombres complexes, et dont les applications de changement de cartes doivent être biholomorphes. Cette dernière condition permet de traduire les notions de fonction holomorphe et méromorphe de l'analyse complexe en la surface ${\displaystyle X}$. Dans le cadre du théorème de Riemann-Roch, la surface est toujours supposée compacte.

Intuitivement, le genre d'une surface de Riemann est le nombre d'anses (ou de « trous », selon le point de vue). Plus précisément, le genre est défini comme la moitié du premier nombre de Betti, c.-à-d. la moitié de la ${\displaystyle \mathbb {C} }$-dimension du premier groupe d'homologie, ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$. Le genre caractérise les surfaces de Riemann compactes à homéomorphisme près, c'est-à-dire que deux surfaces de ce type sont homéomorphes si et seulement si elles ont même genre. Le genre est donc un invariant topologique important d'une surface de Riemann. D'autre part, la théorie de Hodge montre que le genre coïncide avec la ${\displaystyle \mathbb {C} }$-dimension de l'espace des formes holomorphes sur ${\displaystyle X}$. Ainsi le genre fournit également des informations du point de vue de l'analyse complexe sur la surface de Riemann^[1].

Un diviseur ${\displaystyle D}$ est un élément du groupe abélien libre sur les points de la surface. De manière équivalente, un diviseur est une combinaison linéaire finie de points de la surface avec des coefficients entiers.

Pour chaque fonction méromorphe, on a un diviseur, noté ${\displaystyle (f)}$, défini comme :

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

où ${\displaystyle R(f)}$ est l'ensemble des zéros et pôles de ${\displaystyle f}$, et ${\displaystyle s_{\nu }}$ est donné par :

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{si }}z_{\nu }{\text{ est un zero d'ordre }}a\\-a&{\text{si }}z_{\nu }{\text{ est un pôle d'ordre }}a.\end{cases}}}$

Comme ${\displaystyle X}$ est compact et qu'une fonction holomorphe (non nulle) n'a pas de point d'accumulation, l'ensemble ${\displaystyle R(f)}$ est fini. Ainsi ${\displaystyle (f)}$ est bien défini. Chaque diviseur de cette forme est appelé diviseur principal. Deux diviseurs sont appelés linéairement équivalents si leur différence est un diviseur principal. On définit de la même manière le diviseur d'une forme différentielle de degré un. Deux formes méromorphes de degré un quelconques seront linéairement équivalentes, de sorte que le diviseur canonique est déterminé de manière unique à l'équivalence linéaire près (d'où "le" diviseur canonique).

Le symbole ${\displaystyle \deg(D)}$ désigne le degré (parfois aussi appelé indice) du diviseur ${\displaystyle D}$, c'est-à-dire la somme des coefficients apparaissant dans ${\displaystyle D}$. On peut montrer que le diviseur d'une fonction méromorphe quelconque est toujours de degré 0, donc le degré d'un diviseur ne dépend que de sa classe d'équivalence linéaire.

Le nombre ${\displaystyle \ell (D)}$ est la quantité qui nous intéresse : la dimension (sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$) de l'espace vectoriel des fonctions méromorphes ${\displaystyle h}$ sur la surface, telles que tous les coefficients de ${\displaystyle (h)+D}$ sont positifs ou nuls. Intuitivement, nous pouvons considérer qu'il s'agit de toutes les fonctions méromorphes dont les pôles en chaque point ne sont pas plus mauvais que le coefficient correspondant dans ${\displaystyle D}$ ; si le coefficient dans ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle z}$ est négatif, alors nous exigeons que ${\displaystyle h}$ ait un zéro d'au moins cette multiplicité en ${\displaystyle z}$ - si le coefficient dans ${\displaystyle D}$ est positif, ${\displaystyle h}$ peut avoir un pôle d'au plus cet ordre. Les espaces vectoriels des diviseurs linéairement équivalents sont naturellement isomorphes par multiplication avec la fonction méromorphe globale (qui est bien définie à un scalaire près).

Soit ${\displaystyle X}$ une surface de Riemann compacte et de genre ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle \omega \not \equiv 0}$ une forme différentielle méromorphe, et ${\displaystyle K=(\omega )}$ le diviseur canonique. Alors, pour tout diviseur ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle X}$ on a,

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)+1-g.}$

Le théorème de Riemann-Roch évalue la dimension ${\displaystyle \ell (D)}$ de l'espace des fonctions méromorphes ayant des singularités prescrites par un diviseur moins un terme correctif lié au diviseur canonique, ${\displaystyle \ell (K-D)}$. En particulier on a l'inégalité de Riemann ${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)+1-g}$. En prenant ${\displaystyle D=K}$, on obtient le degré du diviseur canonique ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$.

• Soit ${\displaystyle p\in X}$ et ${\displaystyle n\geq 2g}$. Il existe une fonction méromorphe sur ${\displaystyle X}$ ayant en ${\displaystyle p}$ un pôle d'ordre ${\displaystyle n}$ et holomorphe ailleurs. Comme ${\displaystyle \deg(K-(n-1)(p))<0}$, et ${\displaystyle \ell (K-(n-1)(p))=0}$. Donc ${\displaystyle \ell ((n-1)(p))=n-g}$ et de même ${\displaystyle \ell (n(p))=n+1-g.}$ Ainsi ${\displaystyle \ell (n(p))-\ell ((n-1)(p))=1}$^[2].

Soit ${\displaystyle L_{X}}$ un fibré en droites holomorphe sur une surface de Riemann compacte ${\displaystyle X}$ de genre ${\displaystyle g=h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Soit ${\displaystyle K_{X}=T_{X}^{*}}$ le fibré canonique. Notons ${\displaystyle h^{i}(X,L_{X}):=\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,L_{X})}$ la dimension des groupes de cohomologie. Alors le théorème de Riemann–Roch devient^[3],

${\displaystyle h^{0}(X,L_{X})-h^{0}(X,L_{X}^{\vee }\otimes K_{X})=\deg(L_{X})+1-g.}$

La dualité de Serre donne un isomorphisme entre ${\displaystyle H^{0}(X,L_{X}^{\vee }\otimes K_{X})}$ et ${\displaystyle H^{1}(X,L_{X})^{*}}$. Le théorème peut aussi s'écrire en termes de caractéristique d'Euler de ${\displaystyle L_{X}}$,

${\displaystyle \chi (X,L_{X})=\deg(L_{X})+1-g.}$

Démonstration

Un fibré en droites (holomorphe) est isomorphe à un fibré associé à un diviseur ${\displaystyle L_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$^[3]. La preuve procède par récurrence^[4]. Pour ${\displaystyle L_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$, c'est immédiat. Le résultat est vrai pour ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ si et seulement s'il l’est pour ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D-(p))}$ avec ${\displaystyle p\in X}$. Soit ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ le faisceau gratte-ciel en ${\displaystyle p}$. Cela donne une suite exacte courte,

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D-(p))\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow \mathbb {C} _{p}\longrightarrow 0}$

Et la suite exacte longue en cohomologie donne,

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D-(p))(X)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D)(X)\longrightarrow \mathbb {C} \longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D-(p)))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow 0}$

Par le théorème du rang, on obtient la relation suivante, justifiée par la finitude de ${\displaystyle h^{0}}$ et ${\displaystyle h^{1}}$,

${\displaystyle h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))=h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D-(p)))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D-(p)))+1.}$

Soit ${\displaystyle E}$ un fibré vectoriel de rang ${\displaystyle k\geq 1}$ sur une surface de Riemann compacte ${\displaystyle X}$. Le degré de ${\displaystyle E}$ est défini par ${\displaystyle \deg E:=\deg(\det E)}$. Alors le théorème de Riemann–Roch prend la forme,

${\displaystyle h^{0}(X,E)-h^{0}(X,E^{\vee }\otimes K_{X})=\deg(E)+k(1-g).}$

Soit ${\displaystyle S}$ une courbe algébrique projective non singulière sur un corps ${\displaystyle k}$. Pour tout point (fermé) ${\displaystyle x\in S}$ et pour toute fonction rationnelle ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle S}$, notons ${\displaystyle v_{x}(f)}$ l'ordre de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ : c'est l'ordre du zéro de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ si elle est régulière et s'annule en ${\displaystyle x}$; il est nul si ${\displaystyle f}$ est régulière et inversible en ${\displaystyle x}$ ; et c'est l'opposé de l'ordre du pôle de ${\displaystyle f}$ si ${\displaystyle x}$ est un pôle de ${\displaystyle f}$. Soit ${\displaystyle D=\sum _{i}a_{i}[x_{i}]}$ un diviseur sur ${\displaystyle S}$ et soit ${\displaystyle \Delta }$ un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle ${\displaystyle l(D)}$ la dimension du ${\displaystyle k}$-espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur ${\displaystyle S}$ telles que ${\displaystyle v_{x_{i}}(f)\geq -a_{i}}$ pour tout ${\displaystyle i}$, alors on a :

Théorème de Riemann-Roch — ${\displaystyle l(D)-l(\Delta -D)=\deg(D)+1-g,}$

où ${\displaystyle g}$ est le genre de la courbe ${\displaystyle S}$, défini comme étant ${\displaystyle l(\Delta )}$. Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation^[5]. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.

Le théorème de Riemann–Roch permet d'identifier genre topologique et genre algébrique^[6]. Soit ${\displaystyle X}$ une surface de Riemann compacte. Dans cette partie, notons ${\displaystyle g_{\text{top}}(X)}$ le genre topologique, donné par la caractéristique d’Euler d’une triangulation de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \chi (X)=2-2g_{\text{top}}(X)}$. Notons ${\displaystyle g_{\text{alg}}(X)}$ le genre algébrique donné par ${\displaystyle g_{\text{alg}}(X)=h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Celui présent dans la formule de Riemann–Roch pour les faisceaux. Soit ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ un morphisme non constant entre surfaces de Riemann compactes. La formule de Riemann–Hurwitz pour le genre topologique s’écrit, en notant ${\displaystyle N}$ l’indice de ramification de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle e_{x}(f)}$ la ramification en ${\displaystyle x\in X}$,

${\displaystyle 2g_{\text{top}}(X)-2=N{\bigl (}g_{\text{top}}(Y)-2{\bigr )}+\sum _{x\in X}(e_{x}(f)-1).}$

Soit maintenant ${\displaystyle \omega \not \equiv 0}$ une forme différentielle sur ${\displaystyle Y}$. Alors ${\displaystyle f^{*}\omega }$ est une forme sur ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle \deg(f^{*}\omega )=2g_{\text{alg}}(X)-2}$ et ${\displaystyle \operatorname {ord} _{x}(f^{*}\omega )=e_{x}(f)\operatorname {ord} _{f(x)}(\omega )+e_{x}(f)-1}$. On obtient ainsi une formule de Riemann–Hurwitz pour le genre algébrique. En particulier, pour toute surface de Riemann compacte, il existe un morphisme non constant ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$. En appliquant les deux formules de Riemann–Hurwitz et comme ${\displaystyle g_{\text{alg}}(\mathbb {P} ^{1})=g_{\text{top}}(\mathbb {P} ^{1})=0}$, on obtient l’identification entre genre topologique et algébrique.

Soit ${\displaystyle k}$ est un corps global et ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{k})}$ une fonction dans la classe de Schwartz–Bruhat sur les adèles de ${\displaystyle k}$, alors pour tout idèle ${\displaystyle a}$, on a une formule de sommation de Poisson,

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$.

En prenant ${\displaystyle k}$ le corps de fonctions d’une courbe algébrique sur un corps fini et ${\displaystyle f}$ un caractère trivial sur ${\displaystyle k}$, on obtient le théorème de Riemann–Roch^[7].

Soit ${\displaystyle G}$ un graphe avec un ensemble de sommets ${\displaystyle S}$ et un ensemble d’arêtes ${\displaystyle A}$. On définit ${\displaystyle {\text{Div}}(G)}$ comme le groupe abélien libre engendré par ${\displaystyle S}$. L’analogue des fonctions méromorphes est ${\displaystyle {\mathcal {M}}(G)={\text{Hom}}(G,\mathbb {Z} )}$. On définit l’opérateur Laplacien ${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {M}}(G)\rightarrow {\text{Div}}(G)} par;

${\displaystyle \Delta (f):=\sum _{v\in S}\Delta _{v}(f)(v)}$,

où ${\displaystyle \Delta _{v}(f)=\sum _{w\rightarrow v}(f(v)-f(w))}$, la somme étant prise sur les arêtes incidentes à ${\displaystyle v}$. L’ensemble des diviseurs principaux est ${\displaystyle {\text{Prin}}(G):=\Delta ({\mathcal {M}}(G))}$. Comme pour les surfaces de Riemann, un diviseur principal est de degré nul. Soit ${\displaystyle D\in {\text{Div}}(G)}$, et on définit, ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D):=\{D'\in {\text{Div}}(G)\mid D'\geq 0{\text{ et }}D'-D\in {\text{Prin}}(G)\}}$. La dimension ${\displaystyle r(D)}$ est définie par, ${\displaystyle r(D)=-1}$ si ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)=\emptyset }$ et ${\displaystyle r(D)\geq k}$ si et seulement si ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D-E)\neq \emptyset }$ pour tout diviseur ${\displaystyle E\geq 0}$ de degré ${\displaystyle k}$. Le diviseur canonique est,

${\displaystyle K=\sum _{v\in S}(\deg(v)-2)(v).}$

Comme la somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à deux fois le nombre d’arêtes on a, ${\displaystyle \deg(K)=2|A|-2|S|=2g-2}$. Alors le théorème de Riemann–Roch pour les graphes^[8] s’écrit,

${\displaystyle r(D)-r(K-D)=\deg(D)+1-g.}$

Le théorème de Hirzebruch–Riemann–Roch en est une généralisation, il a été trouvé par Friedrich Hirzebruch, comme application des classes caractéristiques en topologie algébrique. Il fut influencé par les travaux de Kunihiko Kodaira. À la même époque, Jean-Pierre Serre donna la forme actuelle de la dualité de Serre.

Le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, démontré par Alexander Grothendieck en 1957, réinterprète Riemann–Roch non plus comme un théorème sur une variété, mais comme un théorème sur un morphisme entre variétés. Les détails des preuves ont été publiés par Armand Borel et Jean-Pierre Serre en 1958^[9]. Plus tard, Grothendieck et ses collaborateurs ont simplifié et généralisé la preuve^[10].

Enfin, une version générale a été trouvée en topologie algébrique. Ces développements ont été essentiellement réalisés entre 1950 et 1960. Après cela, le théorème de l’indice d’Atiyah–Singer a ouvert une autre direction de généralisation.