Il a travaillé dans les mêmes domaines que ses contemporains Charles Henry (neveu de Carl Friedrich Gauss) et Édouard Lucas. Plus précisément, il s'est principalement consacré à la factorisation des nombres de la forme 
(les nombres de Fermat, souvent notés 
) et de la forme 
(les nombres de Mersenne, notés 
).
Landry a amélioré la preuve (publiée par Euler un siècle auparavant) de ce que 
est premier.
En 1867, il a publié une étude décrivant les problèmes que rencontre un mathématicien pour démontrer la primalité d'un nombre, faisant remarquer en particulier que, même en connaissant les critères utilisés, à moins de refaire soi-même les calculs, on doit admettre l'affirmation qu'un nombre donné est premier « comme un acte de foi »[3].
Entre 1867 et 1869, il a publié des factorisations de tous les nombres de la forme 
pour 
(à quatre exceptions près[4]). Vers cette époque, il détient le record du plus grand nombre premier connu (
).
Dans une brève note de 1880, alors âgé de 81 ans et dans sa 82ème année, Landry annonce la factorisation de 
, obtenue en quelques mois[5]. Il est à noter que cette décomposition fut déterminée par Clausen en 1854. Par ailleurs, Lucas affirme qu'il a démontré ultérieurement la primalité du second facteur dans la décomposition de 
[6], qui détient le record du plus grand nombre premier trouvé sans ordinateur, et qui ne soit pas un nombre de Mersenne.
