Graphique du nombre de chiffres du plus grand nombre premier connu par année, depuis l’avènement de l'ordinateur électronique. L'échelle verticale est logarithmique; la ligne rouge est la courbe exponentielle avec le meilleur ajustement: y = exp(0,187394 t – 360,527), où t est en années.
Euclide a démontré qu'il n'existe aucun nombre premier qui soit plus grand que tous les autres; ce qui signifie qu'il existe une infinité de nombres premiers. Malgré, ou du fait de, cette absence de limite, beaucoup de mathématiciens, même amateurs, continuent à chercher de grands nombres premiers.
Depuis 1992, tous les plus grands nombres premiers connus à une date donnée sont des nombres premiers de Mersenne[1]. En , les dix-neuf plus grands nombres premiers connus (à ce sens) sont de Mersenne, tandis que le vingtième est un polynôme de nombres de Mersenne[2].
Le record est détenu par 2136 279 841−1, nombre de Mersenne testé premier par Luke Durant dans le cadre du programme GIMPS, le [3].
Écrit en base dix, ce nombre comporte 41 024 320 chiffres, soit plus de seize millions de chiffres supplémentaires par rapport à l'ancien record qui datait de (cf. infra).
Ses dix premiers chiffres sont 3886924435..., et les 10 derniers sont ...9486871551.
GIMPS coordonne aussi ses efforts à long terme pour les nombres premiers possédant plus de 100 millions de chiffres avec l'Electronic Frontier Foundation pour une récompense de 150 000 dollars pour le participant gagnant et une récompense de 250 000 dollars pour un nombre premier ayant plus d'un milliard de chiffres[4].
Histoire
Chronologie comparée des calculs des décimales de π et de nombres premiers.
Le record du plus grand nombre premier connu a presque toujours été trouvé parmi les nombres de Mersenne[5],[2].
Dans la littérature et dans le tableau ci-dessous, les nombres premiers de Mersenne sont identifiés par les notations:
Mn, où le nombre n accolé représente le rang dans la suite croissante des nombres premiers de Mersenne;
Mp, où l'indice p indique le nombre premier exposant de 2 dans l'expression 2p – 1 du nombre de Mersenne.
Le nombre qui détint le record le plus longtemps fut M19 = 524 287, pendant 144 ans.
Avant le XVIesiècle, il n'est pas possible de déterminer de manière précise les records de calcul du plus grand nombre premier. Les documents qui nous sont parvenus permettant de justifier les calculs sont inexistants ou incomplets[7].
↑ En décembre 2018, cependant, le 9e plus grand nombre premier connu était , découvert en 2016, et qui n'est pas de cette forme (voir sur le site de Chris Caldwell la liste des plus grands nombres premiers connus).
1 2 3 4 On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres premiers de Mersenne entre le 48e (M57 885 161) et le 52e (M136 279 841). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Déjà le 29enombre premier de Mersenne fut découvert après le 30e et le 31e, de même que M43 112 609 fut découvert quinze jours avant M37 156 667, plus petit. De même le 46e (M42 643 801) a été découvert neuf mois après le 47e (M43 112 609).
