Groupe symétrique généralisé

Le groupe ${\displaystyle S(m,n)}$ admet une représentation naturelle par des matrices monomiales dont les coefficients non nuls sont des racines m-ièmes de l'unité : ${\displaystyle C_{m}\cong \mu _{m}.}$

Cette représentation étant fidèle, elle permet de voir le groupe symétrique généralisé comme un groupe de réflexions complexe. En effet, il est engendré par les pseudo-réflexions

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\zeta _{m}\\&1\\&&1\\&&&\ddots \\&&&&1\\&&&&&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\&&1\\&&&\ddots \\&&&&1\\&&&&&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\&0&1\\&1&0\\&&&1\\&&&&\ddots \\&&&&&1\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&&1\\&&&&&0&1\\&&&&&1&0\end{pmatrix}},}$

où ${\displaystyle \zeta _{m}}$ est une racine primitive ${\displaystyle m}$-ième de l'unité.

Plus largement, la théorie des représentations a été abondamment étudiée depuis (Osima 1954) ; voir les références dans (Can 1996). Comme pour le groupe symétrique, les représentations peuvent être construites en termes de modules de Specht ; voir (Can 1996).

Le premier groupe d’homologie de ${\displaystyle (C_{m})^{n}\rtimes S_{n}}$– concrètement, l'abélianisé – est ${\displaystyle C_{m}\times C_{2}}$ (pour m impair, c'est isomorphe à ${\displaystyle C_{2m}}$). En effet, comme les facteurs ${\displaystyle C_{m}}$ sont tous conjugués, ils ont tous la même image dans un groupe abélien (la conjugaison est triviale dans le groupe abélien), le plus grand possible étant ${\displaystyle C_{m}}$, tandis que la signature envoie le groupe symétrique sur ${\displaystyle C_{2}.}$ Concrètement, on envoie un élément ${\displaystyle {\bigl (}(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n}),\sigma {\bigr )}}$ du produit en couronne sur ${\displaystyle \zeta _{1}\cdots \zeta _{n}\cdot \operatorname {sgn} (\sigma )}$. Comme les ${\displaystyle C_{m}}$et ${\displaystyle S_{n}}$ sont indépendants et engendrent le groupe, l'abélianisé est bien déterminé.

Le deuxième groupe d’homologie – classiquement appelé le multiplicateur de Schur – est déterminé dans (Davies et Morris 1974) :

${\displaystyle H_{2}(S(2k+1,n))={\begin{cases}1&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

${\displaystyle H_{2}(S(2k+2,n))={\begin{cases}1&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4.\end{cases}}}$

On peut remarquer qu'il dépend de n et de la parité de m : on a ${\displaystyle H_{2}(S(2k+1,n))\approx H_{2}(S(1,n))}$ et ${\displaystyle H_{2}(S(2k+2,n))\approx H_{2}(S(2,n)),}$ si bien que l'on retrouve les multiplicateurs de Schur du groupe symétrique et du groupe des permutations signées.

• John W. Davies et Alun O. Morris, « The Schur multiplier of the generalized symmetric group », Journal of the London Mathematical Society, 2^e série, vol. 8, n^o 4,‎ 1974, p. 615-620 (DOI 10.1112/jlms/s2-8.4.615)
• Himmet Can, « Representations of the generalized symmetric groups », Contributions to Algebra and Geometry, vol. 37, n^o 2,‎ 1996, p. 289-307 (CiteSeer^x 10.1.1.11.9053, lire en ligne)
• Masaru Osima, « On the representations of the generalized symmetric group », Mathematical Journal of Okayama University, vol. 4, n^o 3,‎ 1954, p. 39-54

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