Matrice monomiale

En mathématiques, une matrice monomiale (ou matrice de permutation généralisée) est une matrice carrée ayant exactement un coefficient non nul par ligne et par colonne. Elle ressemble à une matrice de permutation dans laquelle les 1 peuvent être remplacés par des coefficients non nuls arbitraires. Voici un exemple de matrice monomiale :

{\begin{pmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}

.

Structure

Une matrice inversible A est une matrice monomiale si et seulement si elle peut être écrite comme le produit d'une matrice diagonale inversible D et d'une matrice de permutation (nécessairement inversible) P, c'est-à-dire telles que

A=DP

.

De façon équivalente, il existe une matrice diagonale $D'$ et une matrice de permutation $P'$ telles que $A=P'D'$ (on a alors $P'=P$ et $D'=P^{-1}DP$ ).

Structure de groupe

L'ensemble des matrices monomiales $n\times n$ à coefficients dans un corps K forment un sous-groupe du groupe linéaire général GL(n, K), dans lequel le groupe des matrices diagonales inversibles Δ(n, K) est un sous-groupe normal. Plus précisément, sur tous les corps sauf le corps fini à deux éléments, les matrices monomiales constituent le normalisateur des matrices diagonales, ce qui signifie que le groupe des matrices monomiales est le plus grand sous-groupe de GL(n, K) dans lequel les matrices diagonales forment un sous-groupe distingué.

Le groupe abstrait des matrices monomiales est le produit en couronne du groupe K^× des inversibles du corps et du groupe symétrique S_n. Concrètement, cela signifie qu'il s'agit du produit semi-direct de Δ(n, K) par le groupe symétrique S_n :

\Delta (n,K)\rtimes S_{n}

,

où S_n agit en permutant les coefficients diagonaux et le groupe des matrices diagonales Δ(n, K) est isomorphe au produit (K^×)ⁿ de n copies de K^×.

Plus précisément, les matrices monomiales sont une représentation linéaire fidèle de ce produit en couronne abstrait, c'est-à-dire une réalisation comme un groupe de matrices.

Sous-groupes remarquables

Le sous-groupe des matrices dont tous les coefficients non nuls valent 1 est le groupe des matrices de permutation, qui est isomorphe au groupe symétrique.
Les matrices dont les coefficients non nuls valent ±1 sont parfois appelées matrices de permutation signées, elles forment le groupe hyperoctaédral (en), qui est le groupe de Weyl de type B ou C.
Pour tout entier m ≥ 2, le sous-groupe des matrices dont les coefficients non nuls sont des racines m-ièmes de l'unité est un groupe de réflexions complexe.
Le sous-groupe des matrices diagonales est un sous-groupe abélien, distingué et maximal pour ces propriétés. Le quotient par ce sous-groupe est le groupe symétrique, et cette description le présente comme le groupe de Weyl du groupe linéaire général : les matrices diagonales sont un tore maximal dans le groupe linéaire général (et sont leur propre centralisateur), les matrices de permutation généralisées sont le normalisateur de ce tore, et le quotient, $N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong \mathrm {S} _{n}$ est le groupe de Weyl.

Propriétés

Si une matrice inversible réelle et son inverse sont toutes deux des matrices à coefficients positifs (plus précisément, des matrices avec des entrées positifs ou nuls), alors la matrice est une matrice de permutation généralisée.
Le déterminant d'une matrice de permutation généralisée est donné par $\det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdots d_{nn},$ où $\operatorname {sgn} (\pi )$ est la signature de la permutation $\pi$ associée à $P$ et $d_{11},\ldots ,d_{nn}$ sont les coefficients diagonaux de $D$ .

Généralisations

On peut généraliser encore en choisissant les coefficients dans un anneau plutôt que dans un corps. Dans ce cas, si on impose aux coefficients non nuls d'être inversibles dans l'anneau, on obtient à nouveau un groupe. En revanche, l'ensemble des matrices ayant un élément non nul par ligne et par colonne, qui ne sont pas nécessairement inversibles, forment seulement un demi-groupe – un monoïde si l'anneau est unitaire.

Par abus de notation, on peut considérer les matrices à coefficients dans un groupe G quelconque, puisque la multiplication de deux matrices de cette forme implique la multiplication de deux éléments du groupe mais pas la somme de coefficients. Il s'agit d'une notation suggestive pour le groupe abstrait, formellement bien défini, qu'est le produit en couronne $G\wr S_{n}$ du groupe G par le groupe symétrique.

Groupe de permutations signées

Une matrice de permutation signée est une matrice de permutation généralisée dont les coefficients non nuls valent ±1. Ce sont les matrices de permutation généralisées à coefficients entiers dont l'inverse a des coefficients entiers.

Propriétés

Les matrices de permutations signées forment le groupe de Coxeter $B_{n}$ , il est d'ordre $2^{n}\cdot n!$ .
C'est le groupe de symétries de l'hypercube et (dualement) de l'hyperocatèdre de dimension $n$ .
Son sous-groupe d'indice 2 formé des matrices dont le déterminant est égal à la signature de la permutation (non signée) sous-jacente est le groupe de Coxeter $D_{n}$ : c'est le groupe de symétries du demi-hypercube.
C'est un sous-groupe du groupe orthogonal.

Applications

Représentations monomiales

Les matrices monomiales apparaissent en théorie des représentations dans le contexte des représentations monomiales (en). Une représentation monomiale d'un groupe G est une représentation linéaire ρ : G → GL(n, K) de G (où K est le corps de définition de la représentation) tel que l'image ρ(G) soit un sous-groupe du groupe des matrices monomiales.

Par exemple, le groupe de Valentiner admet une représentation monomiale de degré 6 sur le corps des complexes et une autre sur le corps à 4 éléments, qui le réalise comme groupe d'automorphismes de l'hexacode. (La première est irréductible, la deuxième non.)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized permutation matrix » (voir la liste des auteurs).

David Joyner, Adventures in group theory. Rubik's cube, Merlin's machine, and other mathematical toys, Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 2008 (ISBN 978-0-8018-9012-3, zbMATH 1221.00013)

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