Hémicontinuité

Soient A et B deux espaces topologiques, Γ une fonction multivaluée — ou « correspondance » — de A dans B, c'est-à-dire une application de A dans l'ensemble des parties de B, et a un point de A.

La correspondance Γ est dite

• hémicontinue supérieurement en a sipour tout ouvert V contenant Γ(a)^[1], il existe un voisinage U de a^[2] tel que V contienne Γ(x) pour tous les x de U ;
• hémicontinue inférieurement en a sipour tout ouvert V qui rencontre Γ(a), il existe un voisinage U de a^[2] tel que V rencontre Γ(x) pour tous les x de U ;
• continue en a si elle est hémicontinue en a, à la fois supérieurement et inférieurement ;
• à valeurs fermées (resp. compactes, resp. quasi-compactes) si tous les Γ(a) sont fermés (resp. compacts, resp. quasi-compacts).

Le graphe de Γ est l'ensemble

${\displaystyle {\rm {Gr}}(\Gamma ):=\{(a,b)\in A\times B\mid b\in \Gamma (a)\}.}$

Bien sûr, Γ est dite hémicontinue supérieurement, ou hémicontinue inférieurement, ou continue, lorsqu'elle l'est en tout point de A.

• Toute correspondance constante est continue (il est donc facile de construire des correspondances continues d'un compact dans lui-même et à valeurs non fermées).
• La correspondance de ℝ dans ℝ définie par Γ(x) = {0} si x ≤ 0 et Γ(x) = [0, 1] si x > 0 (dont une variante est représentée ci-contre) est hémicontinue inférieurement mais pas supérieurement, puisqu'elle est à valeurs fermées mais que son graphe n'est pas fermé (cf. § « Théorème du graphe fermé » ci-dessous). Plus directement : elle n'est pas hémicontinue supérieurement au point 0 car l'ouvert ]–1, 1[ contient Γ(0) mais ne contient pas Γ(x) si x > 0.
• Celle définie par Γ(x) = {0} si x < 0 et Γ(x) = [0, 1] si x ≥ 0 (dont une variante est représentée plus bas) est hémicontinue supérieurement, mais n'est pas hémicontinue inférieurement au point 0 car l'ouvert ]0, 1[ rencontre Γ(0) mais ne rencontre pas Γ(x) si x < 0.
• Si tous les Γ(a) sont des singletons, autrement dit si Γ(a) = {f(a)} pour une certaine application f de A dans B :
  • Γ est hémicontinue supérieurement si et seulement si elle l'est inférieurement, et cette continuité de la correspondance Γ est équivalente à celle de l'application f.
  • le graphe de la correspondance Γ est égal à celui de l'application f (il est donc facile de construire des correspondances de ℝ dans ℝ, à valeurs compactes et de graphe fermé, qui ne sont hémicontinues ni supérieurement, ni inférieurement).

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• Γ est hémicontinue supérieurement si et seulement sipour tout ouvert V de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) est inclus dans V est un ouvert de Aou encorepour tout fermé F de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) rencontre F est un fermé de A.
• Γ est hémicontinue inférieurement si et seulement sipour tout ouvert V de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) rencontre V est un ouvert de Aou encorepour tout fermé F de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) est inclus dans F est un fermé de A.

En particulier :

• l'ensemble des x pour lesquels Γ(x) est non vide est fermé dans le premier cas et ouvert dans le second^[3] ;
• si le graphe de Γ est ouvert alors Γ est hémicontinue inférieurement (puisque pour tout point y de B, l'ensemble des x tels que y ∈ Γ(x) est ouvert). La réciproque est fausse mais si Γ est hémicontinue inférieurement et si d est un écart continu sur B alors, pour tout r > 0, le graphe de la correspondance suivante est ouvert : x ↦ {y ∈ B | d(y, Γ(x)) < r} (avec, par convention, d(y, ∅) = +∞).

Sous certaines hypothèses ou restrictions, l'hémicontinuité est préservée par les opérations usuelles^[3].

• L'hémicontinuité supérieure ou inférieure est préservée par composition, en particulier par restriction.
• Γ est hémicontinue inférieurement au point a si et seulement si sa fermeture Γ : x ↦ Γ(x) l'est.
• Lorsque B est normal, si Γ est hémicontinue supérieurement au point a, alors Γ l'est aussi.
• Lorsque B est un espace localement convexe :
  • si Γ est hémicontinue inférieurement au point a alors son enveloppe convexe co(Γ) : x ↦ co(Γ(x)) l'est aussi ;
  • si Γ est hémicontinue supérieurement au point a et si l'enveloppe convexe fermée co(Γ(a)) est compacte, alors co(Γ) et co(Γ) sont aussi hémicontinues supérieurement au point a.
• L'hémicontinuité inférieure est préservée par unions quelconques, et l'hémicontinuité supérieure est préservée par unions finies.
• L'hémicontinuité supérieure est préservée par intersections finies, mais pas l'hémicontinuité inférieure^[4]. Cependant, l'hémicontinuité inférieure est préservée par intersection avec toute correspondance de graphe ouvert^[5].
• La propriété d'être hémicontinue supérieurement et à valeurs quasi-compactes (ou compactes) est préservée par produits quelconques, et l'hémicontinuité inférieure est préservée par produits finis.

Les propriétés de compacité ou de fermeture du graphe sont intimement liées à l'hémicontinuité supérieure.

On peut d'abord généraliser le théorème classique sur l'image continue d'un compact :

Si Γ : A → B est hémicontinue supérieurement et à valeurs quasi-compactes et si A est quasi-compact, alors le graphe de Γ est quasi-compact^[6] (l'union des Γ(a) aussi^[3],[7]).

Toute correspondance dont le graphe est fermé est évidemment à valeurs fermées. L'hémicontinuité supérieure assure une réciproque — analogue d'une propriété des fonctions continues à valeurs dans un espace séparé — et inversement, la fermeture du graphe assure l'hémicontinuité supérieure, sous une hypothèse de compacité :

Soit Γ : A → B une correspondance.

• Si Γ est hémicontinue supérieurement et à valeurs fermées et si B est régulier^[8], alors le graphe de Γ est fermé dans A×B^[9].
• Si le graphe de Γ est fermé et si B est quasi-compact, alors Γ est hémicontinue supérieurement^[9].

On en déduit :

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Les définitions et propriétés ci-dessus sont purement topologiques, mais la plupart des auteurs se limitent au cas des espaces métriques^[10] (typiquement : des parties d'espaces euclidiens).

On suppose dans cette section que A et B sont métrisables^[11].

Le graphe est alors fermé si et seulement s'il est séquentiellement fermé, c'est-à-dire si pour toutes suites convergentes a_n → a dans A et b_n → b dans B telles que b_n ∈ Γ(a_n), on a b ∈ Γ(a).

Le même principe fournit une caractérisation de l'hémicontinuité en termes de suites :

Une correspondance Γ : A → B est

1. hémicontinue supérieurement et à valeurs compactes si et seulement si, pour toutes suites a_n → a dans A et b_n ∈ Γ(a_n), la suite (b_n) possède une valeur d'adhérence dans Γ(a)^[3],[6],[12] ;
2. hémicontinue inférieurement si et seulement si, pour toute suite a_n → a dans A et tout b ∈ Γ(a), il existe une sous-suite (a_nk) de (a_n) et des b_k ∈ Γ(a_nk) tels que b_k → b^[3].

Si B est métrisable, Γ : A → B à valeurs compactes non vides est continue en tant que correspondance si et seulement si elle l'est en tant qu'application à valeurs dans l'ensemble des compacts non vides de B, muni de la distance de Hausdorff^[3].

Il existe aussi des topologies sur l'ensemble des parties de B qui caractérisent l'hémicontinuité supérieure et inférieure^[13].