Intégrale de Selberg

(Selberg 1944) démontre que si ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha )>0,\mathrm {Re} (\beta )>0,\mathrm {Re} (\gamma )>-\min \left({\frac {1}{n}},{\frac {\mathrm {Re} (\alpha )}{n-1}},{\frac {\mathrm {Re} (\beta )}{n-1}}\right)}$, alors

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}.\end{aligned}}}$

La formule de Selberg implique l'identité de Dixon pour les séries hypergéométriques bien équilibrées et certains cas particuliers de la conjecture de Dyson.

(Aomoto 1987) a démontré une formule intégrale légèrement plus générale :

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}}$

${\displaystyle =S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.}$