Intégrale en log-sinus

Les intégrales en log-sinus sont quasi périodiques :

${\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,\operatorname {Ls} _{n}(2k\pi )=2k\operatorname {Ls} _{n}(\pi )}$

Les valeurs des intégrales en π sont liées par une forme de récurrence avec la constante d'Apéry :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ls} _{2}(\pi )=0,&\qquad \operatorname {Ls} _{3}(\pi )=-{\frac {\pi ^{3}}{12}},\\\operatorname {Ls} _{4}(\pi )={\frac {3}{2}}\zeta (3),&\qquad \operatorname {Ls} _{5}(\pi )=-{\frac {19}{240}}\pi ^{5},\\\operatorname {Ls} _{6}(\pi )={\frac {45}{2}}\zeta (5)+{\frac {5}{4}}\pi ^{3}\zeta (3),&\qquad \operatorname {Ls} _{7}(\pi )=-{\frac {275}{1344}}\pi ^{7}-{\frac {45}{2}}\pi \zeta (3)^{2}\\\operatorname {Ls} _{8}(\pi )={\frac {2835}{4}}\pi \zeta (7)+{\frac {315}{8}}\pi ^{3}\zeta (5)+{\frac {133}{32}}\pi ^{5}\zeta (3),&\qquad \ldots \end{aligned}}}$

Pour leur calcul, on établit la relation suivante^[1],[2]:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\operatorname {Ls} _{n+1}(\pi ){\frac {x^{n}}{n!}}=-\pi {\frac {\Gamma (1+x)}{\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})^{2}}}}$

On en tire l'égalité :

${\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=-\pi {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left.\exp \left(\sum _{k=2}^{+\infty }(-1)^{k}\eta (k){\frac {x^{k}}{k}}\right)\right|_{x=0}}$

avec η, la fonction êta de Dirichlet.

• ${\displaystyle \operatorname {Ls} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$ (constante de Catalan),

La fonction intégrale en log-sinus pour n = 2 est une fonction de Clausen :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\operatorname {Ls} _{2}(t)=\operatorname {Cl} _{2}(t)}$

Elle est aussi liée à la fonction de Lobachevski :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\Lambda (t)={\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2t)}$

Les intégrales en log-sinus apparaissent dans les valeurs de la dérivée de la fonction bêta :

${\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[2^{x}\mathrm {B} \left({\frac {x+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]\right|_{x=0}}$

Lewin a également étudié le cas des intégrales en log-sinus-cosinus (log-sine-cosine integrals) :

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Lsc} _{m,n}(t)=\int _{0}^{t}\left(\ln \left|2\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{m-1}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1}\,\mathrm {d} \theta }$

en établissant que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\operatorname {Lsc} _{m+1,n+1}(\pi ){\frac {x^{m}}{m!}}{\frac {y^{n}}{n!}}=-2^{x+y}\mathrm {B} ({\frac {1+x}{2}},{\frac {1+y}{2}})}$

Les intégrales en log-sinus généralisées (généralized log-sine integrals) sont données par :

${\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Ls} _{n}^{(k)}(t)=-\int _{0}^{t}\theta ^{k}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1-k}\,\mathrm {d} \theta }$

Elles sont liées aux fonctions polylogarithmes et aux fonctions de Glaisher-Clausen.

On a :

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {(-2)^{k-1}}{(k-2)!}}\operatorname {Ls} _{k}^{(1)}({\frac {\pi }{3}}).}$