Mesure de Mahler

La mesure de Mahler ${\displaystyle M(p)}$ d'un polynôme ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {C} [x]}$ à coefficients réels ou complexes est par définition :

${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|)\,d\theta \right).}$

où

${\displaystyle \|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }\,}$

est la norme ${\displaystyle L_{\tau }}$ de ${\displaystyle p}$. A l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}$

on obtient l'expression :

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\}=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|}$.

La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme

${\displaystyle m(p)=\log M(p)}$ .

La mesure de Mahler d'un nombre algébrique ${\displaystyle \alpha }$ est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

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La formule de Jensen affirme que pour une fonction holomorphe ${\displaystyle f}$ ayant pour zéros ${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}}$ sur le disque fermé ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$on a la relation

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{N}\log \left({\frac {r}{|\alpha _{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|\,\mathrm {d} \theta .}$

En appliquant cette formule à la fonction ${\textstyle f(z)={\frac {P(z)}{a}}}$ où ${\textstyle P(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}$ en ${\displaystyle r=1}$ on obtient :

${\displaystyle 0+\sum _{k\in [\![1,n]\!]{\text{ et }}|\alpha _{k}|<1}\log \left({\frac {1}{\alpha _{k}}}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(|P(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })/a|)\,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(|P(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|)\,\mathrm {d} \theta -\log(|a|)}$.

En passant le ${\displaystyle \log(|a|)}$ de l'autre côté de l'égalité et en appliquant la relations coefficients racines qui donne ${\displaystyle |a|=|\alpha _{1}\cdots \alpha _{n}|}$, puis en passant à l'exponentielle on retrouve bien ${\displaystyle M(P)=|a|\prod _{k=1}^{n}\max(1,|\alpha _{k}|)}$.

• La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire : ${\displaystyle M(p\,q)=M(p)\cdot M(q).}$
• Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a ${\displaystyle M(p)=1}$ .
• Théorème de Kronecker : Si ${\displaystyle p}$ un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et ${\displaystyle M(p)=1}$ , alors soit ${\displaystyle p(z)=z}$ , soit ${\displaystyle p}$ est un polynôme cyclotomique.
• La conjecture de Lehmer (en) stipule qu'il existe une constante ${\displaystyle \mu >1}$ telle que tout polynôme irréductible ${\displaystyle p}$ à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie ${\displaystyle M(p)>\mu }$ .
• La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .

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Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs particulières des fonctions L .

Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth^[1]:

${\displaystyle m(1+x_{1}+x_{2})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)=\int _{1/6}^{5/6}\ln(2\sin(\pi t))\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)}$

où

${\displaystyle L(\chi _{-3},s)={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+-\ldots }$ .

et (Boyd 1981)

${\displaystyle m(1+x_{1}+x_{2}+x_{3})={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)}$

Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif ${\displaystyle f}$ , il existe un polynôme de Laurent ${\displaystyle P_{f}\in \mathbb {Z} (x,y)}$ et un nombre rationnel ${\displaystyle r_{f}\in \mathbb {Q} }$ tel que

${\displaystyle m(P_{f})=r_{f}d_{F}}$

où

${\displaystyle d_{f}={\frac {f{\sqrt {f}}}{4\pi }}L(\chi _{-f},2)}$

est le discriminant du caractère ${\displaystyle \chi _{-f}(n)=\left({\frac {-f}{n}}\right)}$.

Une approche qui remonte à Boyd et Rodriguez-Villegas consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.

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La mesure de Mahler ${\displaystyle M(p)}$ d'un polynôme ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ est défini de manière analogue par la formule

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\ln \left(\left|p(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{1}},\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{2}},\ldots ,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{n}})\right|\right)\,\mathrm {d} \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \mathrm {d} \theta _{n}\right).}$

On peut montrer que ${\displaystyle M(p)}$ converge (Lawton 1983).

Pour ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$, soit

${\displaystyle q({\boldsymbol {r}}):=\min\{\max\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}:s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$

Alors on a :

${\displaystyle M\left(p(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)=\lim _{{\boldsymbol {r}}\in \mathbb {N} ^{n} \atop q({\boldsymbol {r}})\to \infty }M\left(p(x^{r_{1}},x^{r_{2}},\ldots ,x^{r_{n}})\right).}$