Isomorphisme (théorie des catégories)

Soit ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux objets d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Une flèche ${\displaystyle u:A\rightarrow B}$ est dite un isomorphisme (dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ) s'il existe une flèche ${\displaystyle v:B\rightarrow A}$ telle que l'on ait à la fois :

${\displaystyle vu=1_{A}}$ et ${\displaystyle uv=1_{B}}$,

où ${\displaystyle 1_{A}}$ et ${\displaystyle 1_{B}}$ désignent les flèches unités de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle B}$^[1].

• Cette flèche ${\displaystyle v}$ notée ${\displaystyle u^{-1}}$ est aussi un isomorphisme qui est dit inverse ou réciproque de u.
• On a évidemment${\displaystyle (u^{-1})^{-1}=u}$
• Toute flèche unité est un isomorphisme et on a ${\displaystyle (1_{A})^{-1}=1_{A}}$; la composée uv de deux isomorphismes est un isomorphisme tel que ${\displaystyle (uv)^{-1}=v^{-1}.u^{-1}}$
• Tout isomorphisme est un monomorphisme et un épimorphisme.
• Soit F un foncteur d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Si u est un isomorphisme de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, la flèche F(u) est un isomorphisme de ${\displaystyle B}$ tel que ${\displaystyle (F(u))^{-1}=F(u^{-1})}$.

• Dans la catégorie des ensembles, les isomorphismes sont les bijections.
• Dans la catégorie des groupes, les isomorphismes sont les isomorphismes de groupes au sens habituel, c'est-à-dire les homomorphismes bijectifs. Il faut rappeler qu'un groupe n'est pas la donnée d'un seul ensemble ${\displaystyle E}$ mais d'un couple ${\displaystyle A=(E,\times )}$ où ${\displaystyle \times }$ désigne une loi de composition interne sur ${\displaystyle E}$ satisfaisant certains axiomes. Il sera donc prudent , pour désigner l'ensemble sous-jacent au groupe ${\displaystyle A}$, d'employer une autre notation que A, par exemple ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$. De même, si on se donne un morphisme de groupes, c'est-à-dire une flèche ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ de la catégorie des groupes, il conviendra de la distinguer de l'application sous-jacente ${\displaystyle \left\vert f\right\vert$ :\left\vert A\right\vert \rightarrow \left\vert B\right\vert } , qui est une flèche de la catégorie des ensembles. Dans le "langage catégorique", on dirait qu'un morphisme de groupes ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ est un isomorphisme si, et seulement si ${\displaystyle \left\vert f\right\vert$ :\left\vert A\right\vert \rightarrow \left\vert B\right\vert } est un isomorphisme de la catégorie des ensembles^[1].
• Dans la catégorie des espaces topologiques, les isomorphismes sont les homéomorphismes.
• Dans une catégorie ${\displaystyle {\bar {E}}}$ associée à un ensemble préordonné ${\displaystyle E}$, dire qu'une flèche ${\displaystyle x\rightarrow y}$ est un isomorphisme revient à dire que les éléments ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle E}$ sont tels que l'on ait à la fois ${\displaystyle x\preccurlyeq y}$ et ${\displaystyle y\preccurlyeq x}$.