Catégorie des espaces topologiques

On dispose du foncteur d'oubli de Top dans la catégorie des ensembles consistant à ignorer la topologie :

${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$

Ce foncteur forme un triplet d'adjonction

${\displaystyle D\dashv U\dashv I}$

où D munit l'ensemble considéré de la topologie discrète, et I le munit de la topologie grossière. Ces deux foncteurs forment des plongements pleins de Set dans Top.

• Top est une catégorie concrète ;
• Top est complète et cocomplète ;
• Top n'est pas une catégorie préadditive ;
• Top n'est pas cartésienne close, donc n'est pas un topos.

• L'ensemble vide est l'objet initial de Top ;
• Le singleton est l'objet final de Top ;
• Top n'a pas d'objet zéro ;
• Top n'a pas d'objet exponentiel ;

• Les monomorphismes de Top sont les applications continues injectives ;
• Les monomorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux plongements ;
• Les épimorphismes de Top sont les applications continues surjectives ;
• Les épimorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux applications quotient ;
• Les isomorphismes de Top sont les homéomorphismes ;
• Top n'admet pas de morphisme zéro.

• Le produit dans Top correspond au produit cartésien muni de la topologie produit.
• L'égaliseur dans Top est l'égaliseur ensembliste muni de la topologie induite.
• Le coégaliseur dans Top est le coégaliseur ensembliste muni de la topologie quotient.
• La limite inductive dans Top correspond à la limite ensembliste munie de la topologie finale.
• La limite projective dans Top correspond à la limite ensembliste munie de la topologie initiale.

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions]

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