Catégorie des groupes

Tout groupe est en particulier un monoïde, on dispose donc naturellement d'un foncteur d'oubli :

${\displaystyle M:\mathrm {Grp} \to \mathrm {Mon} }$

Ce foncteur apparaît dans un triplet d'adjonction ${\displaystyle K\dashv M\dashv I}$ où :

• K est le foncteur qui envoie un monoïde sur son groupe de Grothendieck ;
• I est le foncteur qui envoie un monoïde sur le sous-monoïde de ses éléments inversibles.

On peut encore « oublier » la structure de monoïde, pour ne plus voir finalement que les éléments d'un groupe comme formant un ensemble. Cela correspond à un foncteur d'oubli

${\displaystyle S:\mathrm {Mon} \to \mathrm {Set} }$

auquel est naturellement adjoint le foncteur libre F, c'est-à-dire le foncteur qui à un ensemble associe le monoïde librement engendré par ses éléments. On a

${\displaystyle F\dashv S}$

En effectuant ces deux opérations d'oubli, on a donc un foncteur d'oubli

${\displaystyle MS:\mathrm {Grp} \to \mathrm {Mon} \to \mathrm {Set} }$

dans la catégorie des ensembles. qui est adjoint à droite du foncteur libre

${\displaystyle KF:\mathrm {Set} \to \mathrm {Mon} \to \mathrm {Grp} }$

• Grp est une catégorie concrète ;
• Grp est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
• Grp est complète et cocomplète ;
• Grp n'est pas une catégorie additive, ni abélienne ;

• L'objet initial, final et zéro de Grp est le groupe trivial 1 ;
• Les objets projectifs de Grp sont les groupes libres ;
• L'objet injectif (en) de Grp est le groupe trivial ;

• Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ;
• Les épimorphismes sont les morphismes de groupe surjectifs ;
• Les isomorphismes sont les morphismes de groupe bijectifs ;

• Le produit dans Grp est le produit direct de groupes ;
• Le coproduit dans Grp est le produit libre de groupes ;
• Le noyau dans Grp correspond au noyau au sens algébrique.

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• Michel Demazure et Alexander Grothendieck, Schémas en groupes I, Springer, coll. « Lect. Notes in Math. », 1970, p. 151-153

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