Lemme de Fatou

Soit ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré. Pour toute suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de fonctions mesurables sur ${\displaystyle E}$ à valeurs dans [0, +∞], la limite inférieure de la suite est mesurable et l'on a :

${\displaystyle \int \liminf _{n\to \infty }f_{n}~\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}~\mathrm {d} \mu }$.

L'égalité n'est en général pas vérifiée.

Démonstration^[1],[2],[3]

Par définition, la fonction ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f_{n}}$ est la limite simple de la suite croissante des fonctions ${\displaystyle g_{p}}$ (mesurables positives) définies par :

${\displaystyle \forall x\in E,\quad g_{p}(x)=\inf _{n\geq p}f_{n}(x)}$.

Par conséquent, le théorème de convergence monotone s'applique et donne :

${\displaystyle \int \liminf _{n\to \infty }f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int \lim _{p\to \infty }g_{p}~\mathrm {d} \mu =\lim _{p\to \infty }\int g_{p}~\mathrm {d} \mu }$.

Or pour tout ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$, par définition de ${\displaystyle g_{p}}$ et croissance de l'intégrale, on a :

${\displaystyle \forall n\geq p,\quad \int g_{p}~\mathrm {d} \mu \leq \int f_{n}~\mathrm {d} \mu }$,

autrement dit :

${\displaystyle \int g_{p}~\mathrm {d} \mu \leq \inf _{n\geq p}\int f_{n}~\mathrm {d} \mu }$,

si bien que

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\int g_{p}~\mathrm {d} \mu \leq \lim _{p\to \infty }\inf _{n\geq p}\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\liminf _{n\to \infty }\int f_{n}~\mathrm {d} \mu }$^[4].

L'exemple suivant montre que l'égalité n'est pas vérifiée en général. Considérons la suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sur ${\displaystyle E:=[0,2]}$ muni de la mesure de Lebesgue, telle que ${\displaystyle f_{2n}=\mathbf {1} _{[0,1]}}$ et ${\displaystyle f_{2n+1}=\mathbf {1} _{]1,2]}}$. Alors ${\displaystyle g_{p}(x)=\inf _{n\geq p}f_{n}(x)=0}$ pour tout ${\displaystyle p}$, donc ${\displaystyle \lim _{p}\int _{[0,2]}g_{p}~\mathrm {d} x=0}$, tandis que ${\displaystyle \int _{[0,2]}f_{n}~\mathrm {d} x=1}$ pour tout ${\displaystyle n}$.

Appliquer le lemme de Fatou pour des fonctions non positives requiert en général des hypothèses supplémentaires, comme le montre l'exemple suivant. Pour tout entier ${\displaystyle n\geq 1}$, notons ${\displaystyle f_{n}=-1_{[n,2n]}/n}$ ; la suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}}$ converge uniformément sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vers la fonction nulle (d'intégrale 0) alors que chaque ${\displaystyle f_{n}}$ a pour intégrale −1, ce qui est contraire à la conclusion du lemme de Fatou. Le problème vient du fait que la suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 1}}$ n'est pas minorée par une fonction intégrable.

En appliquant le lemme de Fatou au cas où chaque f_n est l'indicatrice d'une partie mesurable A_n de E, on obtient :

${\displaystyle \mu (\liminf _{n}A_{n})\leq \liminf _{n}\mu (A_{n})}$,

où la limite inférieure de gauche est la limite inférieure de la suite d'ensembles.

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au lemme de Fatou. En effet, par croissance de la suite ${\displaystyle (\cap _{n\geq N}A_{n})_{N}}$, on a

${\displaystyle \mu \left(\cup _{N\in \mathbb {N} }\cap _{n\geq N}A_{n}\right)=\lim _{N}\mu \left(\cap _{n\geq N}A_{n}\right)\leq \lim _{N}\inf _{n\geq N}\mu (A_{n})}$.

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