Lemme de Whitehead

Soit R un anneau unitaire.

Le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GL(n, R) et la réunion croissante de ces groupes est notée GL(R).

Le sous-groupe de GL(n, R) engendré par les matrices élémentaires de transvections est noté E(n, R). Le sous-groupe de GL(R) constitué de la réunion des E(n, R) est noté E(R).

Dans un groupe G, le sous-groupe dérivé (engendré par les commutateurs [x, y] = xyx⁻¹y⁻¹) sera noté ici [G, G].

Divers énoncés portent en fait le nom de « lemme de Whitehead ».

1. Pour toutes matrices A et B dans GL(n, R),${\displaystyle {\begin{pmatrix}AB&0\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\in {\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}~{\rm {E}}(2n,R),}$^[7]autrement dit : pour toute matrice B dans GL(n, R),${\displaystyle {\begin{pmatrix}B&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}}\in {\rm {E}}(2n,R).}$
2. Le groupe dérivé du groupe linéaire infini est le sous-groupe engendré par les matrices élémentaires de transvections^[1],[4],[5] :[GL(R), GL(R)] = E(R).
3. De plus, ce sous-groupe est parfait : [E(R), E(R)] = E(R).

Démonstration

Tout se déduit de l'énoncé 1 (cf. § Remarques ci-dessous), lui-même justifié par le fait que toute matrice triangulaire par blocs avec deux I_n sur la diagonale est un produit de n² matrices élémentaires de transvections^[1],[8] et par l'égalité^[1] :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&0\\I_{n}-B^{-1}&I_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&-I_{n}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{n}&0\\I_{n}-B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

L'analogue des énoncés 2 et 3 pour GL(n, R) et E(n, R) est faux, par exemple pour R égal au corps fini ℤ/2ℤ et pour n = 2 : GL(2, ℤ/2ℤ) est non abélien et d'ordre 6, donc isomorphe au groupe symétrique S₃, dont le groupe dérivé est le sous-groupe alterné A₃, alors que E(2, ℤ/2ℤ) est égal à GL(2, ℤ/2ℤ) tout entier.

Cependant :

• d'après la deuxième relation de Steinberg e_ik(λμ) = [e_ij(λ), e_jk(μ)] pour i, j, k distincts, E(n, R) est parfait dès que n ≥ 3^[3].
• si R est un anneau euclidien ou un anneau commutatif semi-local, E(n, R) est égal au groupe spécial linéaire SL(n, R) tout entier^[7].
• si R est un anneau de polynômes à un nombre fini d'indéterminées sur un corps, E(n, R) = SL(n, R) pour n ≥ 3, d'après un théorème de Suslin^[9].

Le premier de ces trois points assure que E(R) = [E(R), E(R)] ⊂ [GL(R), GL(R)]. Pour l'inclusion réciproque de [GL(R), GL(R)] dans E(R), il suffit d'utiliser l'énoncé 1 ci-dessus du « lemme de Whitehead » et l'égalité

${\displaystyle {\begin{pmatrix}[A,B]&0\\0&I_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&0\\0&A^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}(BA)^{-1}&0\\0&BA\end{pmatrix}}.}$

L'énoncé 2 du lemme de Whitehead revient à dire que le sous-groupe E(R) est normal dans GL(R) et que le groupe quotient GL(R)/E(R) est l'abélianisé K₁(R) de GL(R). Si l'anneau R est commutatif, on a un morphisme déterminant, de K₁(R) dans le groupe R^× des inversibles de R. Pour que ce soit un isomorphisme, il suffit que E(n, R) = SL(n, R) pour tout n assez grand^[10], comme dans les « bons cas » ci-dessus, mais il ne suffit pas que R soit principal^[11].