Lemme fondamental (programme de Langlands)

Langlands a décrit une stratégie pour prouver les conjectures de Langlands locales et globales en utilisant la formule des traces d'Arthur-Selberg (en), mais pour que cette approche fonctionne, les aspects géométriques de la formule des traces pour différents groupes doivent être liés d'une manière particulière. Cette relation prend la forme d'identités entre intégrales orbitales sur les groupes réductifs ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H}$ sur un corps local non archimédien ${\displaystyle F}$, où le groupe ${\displaystyle H}$, appelé groupe endoscopique de ${\displaystyle G}$, est construit à partir de ${\displaystyle G}$ et de quelques données supplémentaires.

En 1979, Jean-Pierre Labesse (de) et Robert Langlands considèrent les premiers le cas ${\displaystyle G={\rm {SL}}_{2}}$ démontrent le lemme fondamental dans ce cas^[2]. Langlands et Diana Shelstad ont ensuite développé le cadre général de la théorie du transfert endoscopique, obtenu certains résultats^[3] et Langlands a conjecturé le lemme fondamental dans le cas général^[4]. Cependant, au cours des deux décennies suivantes, seuls des progrès limités ont été réalisés dans la preuve du lemme fondamental. Harris l'a qualifié de « goulot d'étranglement limitant les progrès sur une multitude de questions arithmétiques ». Langlands lui-même, écrivant sur les origines de l'endoscopie, écrit :

« [...] ce n'est pas le lemme fondamental en tant que tel qui est critique pour la théorie analytique des formes automorphes et pour l'arithmétique des variétés de Shimura ; c'est la formule des traces stable, la réduction de la formule des traces à la formule des traces stable pour un groupe et ses groupes endoscopiques, et la stabilisation de la formule de Grothendieck-Lefschetz (en). Aucun de ces travaux n'est possible sans le lemme fondamental et son absence a rendu les progrès presque impossibles pendant plus de vingt ans. »^[5]

Le lemme fondamental stipule qu'une intégrale orbitale ${\displaystyle O}$ pour un groupe ${\displaystyle G}$ est égale à une intégrale orbitale stable ${\displaystyle SO}$ pour un groupe endoscopique ${\displaystyle H}$, à un facteur de transfert ${\displaystyle \Delta }$ près^[6] :

${\displaystyle SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{\kappa }(1_{K_{G}})}$

où

• ${\displaystyle F}$ est un corps local,
• ${\displaystyle G}$ est un groupe non ramifié défini sur ${\displaystyle F}$, autrement dit un groupe réductif quasi-déployé défini sur ${\displaystyle F}$ qui se déploie sur une extension finie non ramifiée de ${\displaystyle F,}$
• ${\displaystyle \kappa }$ est un caractère du groupe des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de ${\displaystyle \gamma _{G}\,,}$
• ${\displaystyle H}$ est un groupe endoscopique non ramifié de ${\displaystyle G}$ associé à ${\displaystyle \kappa ,}$
• ${\displaystyle K_{G}}$ et ${\displaystyle K_{H}}$ sont des sous-groupes compacts maximaux hyperspéciaux de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H}$, ce qui signifie que ce sont des sous-groupes de points à coefficients dans l'anneau des entiers de ${\displaystyle F,}$
• ${\displaystyle 1_{K_{G}}}$et ${\displaystyle 1_{K_{H}}}$sont les fonctions caractéristiques respectives de ${\displaystyle K_{G}}$ et ${\displaystyle K_{H}\,,}$
• ${\displaystyle \gamma _{H}}$ et ${\displaystyle \gamma _{G}}$ sont des éléments de ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle G}$ représentant des classes de conjugaison stables, telles que la classe de conjugaison stable de ${\displaystyle \gamma _{G}}$ est le transfert de la classe de conjugaison stable de ${\displaystyle \gamma _{H}}$.
• ${\displaystyle \Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})}$ est un facteur de transfert, une certaine expression élémentaire dépendant de ${\displaystyle \gamma _{H}}$ et ${\displaystyle \gamma _{G}\,.}$

La principale application directe du lemme fondamental et de ses variantes est la stabilisation de la formule des traces, réalisée dans le cas tordu par Colette Moeglin et Jean-Loup Waldspurger^[27]. La formule des traces stables ainsi obtenue a permis à Arthur d'établir la classification endoscopique des représentations des groupes orthogonaux et symplectiques, qui a été ensuite généralisée aux groupes unitaires par Mok. Cette classification a à son tour eu de très nombreuses applications arithmétiques, par exemple à certains cas de la correspondance de Langlands globale, à la conjecture de Belinson-Bloch-Kato ou à la conjecture de Gan-Gross-Prasad. Un cas particulier du lemme fondamental joue également un rôle dans la preuve par Wiles du dernier théorème de Fermat^[7].