Matrice centrosymétrique

• Si A et B sont des matrices centrosymétriques sur un corps K donné, alors A + B et cA, pour tout c dans K, le sont aussi. En outre, le produit de la matrice AB est centrosymétrique, puisque JAB = AJB = ABJ. Étant donné que la matrice identité est également centrosymétrique, il en résulte que l'ensemble des matrices centrosymétriques n × n sur K est une sous-algèbre de l'algèbre associative de toutes les matrices n × n.
• Si A est une matrice centrosymétrique avec une base propre de taille m, alors ses m vecteurs propres peuvent chacun être choisis de manière à satisfaire soit x = Jx soit x = -Jx.
• Si A est une matrice centrosymétrique avec des valeurs propres distinctes, alors les matrices qui commutent avec A doivent être centrosymétriques^[1].

La relation centrosymétrique AJ = JA se prête à une généralisation naturelle, où J est remplacée par une matrice involutive K (i.e., K² = I)^[2],[3]. Le problème inverse de la relation de commutation AK = KA, d'identifier tous les involutive K qui commutent avec une matrice fixe A, a également été étudié^[1].

Les matrices symétriques centrosymétriques sont parfois appelées matrices bisymétriques (en). Lorsque le corps de base est le réels, il a été démontré que les matrices bisymétriques sont précisément ces matrices symétriques dont les valeurs propres sont identiques au signe après pré ou post multiplication par la matrice J^[3]. Un résultat similaire est valable pour les matrices hermitiennes centrosymétriques et l' inclinaison centrosymétriques^[4].

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