Noyau (théorie des catégories)

Considérons dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ deux flèches ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ de même source ${\displaystyle A}$ et de même but ${\displaystyle B}$. Une flèche ${\displaystyle k:K\rightarrow A}$ de but ${\displaystyle A}$ est dite noyau ou égalisateur^[1] du couple ${\displaystyle (u,v)}$ si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) On a ${\displaystyle uk=vk}$ ;

(2) Pour toute flèche ${\displaystyle x:X\rightarrow A}$ telle que l'on ait ${\displaystyle ux=vx}$, il existe une flèche unique ${\displaystyle x':X\rightarrow K}$ telle que ${\displaystyle x=kx'}$^[2],[3],[4].

Un noyau n'existe pas nécessairement. Si la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est telle que tout couple de flèches ${\displaystyle (u,v)}$ ayant même source et même but admette un noyau, on dit que la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ admet des noyaux^[5].