Moyenne de Seiffert

Seiffert a défini ces moyennes en s'intéressant aux valeurs définissables comme moyenne contenue entre deux moyennes d'ordre p, comme la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres positifs^[1].

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Dans les inégalités bornant les moyennes :

• M_p désigne la moyenne d'ordre p ;
• A, la moyenne arithmétique ;
• Q, la moyenne quadratique ;
• L, la moyenne logarithmique ;
• I, la moyenne identrique.

Première moyenne de Seiffert

La première moyenne de Seiffert a été définie en 1993^[2]:

${\displaystyle P(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a-b}{2\arcsin \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}={\dfrac {a-b}{4\arctan \left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)-\pi }}&{\text{ si }}a\neq b,\\[4pt]a&{\text{ si }}a=b.\end{cases}}}$

On a les encadrements suivants^[3]:

${\displaystyle L(a,b)\leqslant P(a,b)\leqslant I(a,b)}$

${\displaystyle M_{1/2}(a,b)\leqslant P(a,b)\leqslant M_{2/3}(a,b)}$

${\displaystyle M_{\ln(2)/\ln(\pi )}(a,b)\leqslant P(a,b)}$

Deuxième moyenne de Seiffert

La deuxième moyenne de Seiffert a été définie en 1993^[4]:

${\displaystyle T(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a-b}{2\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}&{\text{ si }}a\neq b,\\[4pt]a&{\text{ si }}a=b.\end{cases}}}$

On a les encadrements suivants^[5]:

${\displaystyle A(a,b)\leqslant T(a,b)\leqslant Q(a,b)}$

${\displaystyle M_{\ln(2)/\ln(\pi /2)}(a,b)\leqslant T(a,b)\leqslant M_{5/3}(a,b)}$