Moyenne identrique

Heuristiquement, la limite de la moyenne arithmétique des valeurs d'une fonction sur un intervalle [a , b] est la valeur moyenne de cette fonction sur [a , b].

Plus précisément, d'après le théorème des sommes de Riemann, pour f continue sur un intervalle [a , b], on considère n + 1 points équirépartis a = x₀ < ... < x_n = b. Alors :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction f continue positive sur un intervalle [a , b] est moins évidente : en posant

${\displaystyle \ell =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}f(x_{k})}}}$

on a :

${\displaystyle \ln(\ell )=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(f(x_{k}))={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(f(x))\,\mathrm {d} x}$.

On en déduit :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x\right)}$

Or :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x=[x\ln x-x]_{a}^{b}=b\ln(b)-b-a\ln(a)+a=\ln \left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\mathrm {e} ^{-(b-a)}\right)}$

On en déduit ainsi que la limite de la moyenne géométrique des valeurs contenues dans un intervalle [a , b] est la moyenne identrique de a et b :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=I(a,b).}$

Summarize Timeline Fact Check

Pour deux nombres strictement positifs distincts ${\displaystyle a,b}$ , on a les inégalités^[5]:

${\displaystyle H(a,b)<G(a,b)<L(a,b)<P(a,b)<I(a,b)<A(a,b)}$

où :

• H désigne la moyenne harmonique ;
• G désigne la moyenne géométrique ;
• L désigne la moyenne logarithmique ;
• P désigne la deuxième moyenne de Seiffert ;
• A désigne la moyenne arithmétique.

De même, si M_p désigne la moyenne d'ordre p, alors^[5]:

${\displaystyle M_{2/3}(a,b)<I(a,b)<M_{\ln 2}(a,b)}$

La moyenne identrique est bornée par des valeurs faisant appel à la fonction Gamma et γ, constante d'Euler-Mascheroni^[6]:

${\displaystyle \forall b>a\geqslant 1,\forall r\leqslant 1/2,\forall s\geqslant \gamma ,\left({\frac {b}{a}}\right)^{r}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}<I(a,b)^{b-a}<\left({\frac {b}{a}}\right)^{s}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}.}$