Méthode PN

Dans le cas d'un milieu stationnaire unidimensionnel en espace comportant émission, diffusion élastique (sans changement de fréquence) et absorption la propagation est décrite par l'équation équation intégro-différentielle linéaire suivante

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} L(x,\mu )}{\mathrm {d} x}}+\kappa _{t}(x)L(x,\mu )=S(x,\mu )+2\pi \kappa _{d}\int _{-1}^{1}{\mathcal {P}}(\mu ,\mu ')L(x,\mu )\mathrm {d} \mu }$

où

${\displaystyle L(x,\mu )}$	luminance (spectrale ou intégrée),
${\displaystyle x}$	variable d'espace
${\displaystyle \mu =\cos(\theta )}$	donne la direction de propagation pour une fonction de phase supposée de révolution,
${\displaystyle \theta }$	angle de colatitude pour des coordonnées sphériques,
${\displaystyle \kappa _{t}(x)=\kappa _{a}(x)+\kappa _{d}(x)}$	coefficient d'extinction totale,
${\displaystyle \kappa _{a}(x)}$	coefficient d'absorption,
${\displaystyle \kappa _{d}(x)}$	coefficient d'extinction par diffusion,
${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu ,\mu ')}$	fonction de phase (supposée entièrement définie par la déviation au cours d'une interaction),
${\displaystyle S(x,\mu )}$	fonction source volumique.

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La base du développement choisie sera :

• en bidimensionnel des harmoniques sphériques,
• si la solution est à symétrie azimutale (cas traité ici) on choisit généralement des polynômes de Legendre notés P, quoique beaucoup d'autres choix soient possibles.

La luminance est supposée de forme suivante, à variables séparées

${\displaystyle L(x,\mu )=\sum _{i=0}^{N}{\frac {2i+1}{2}}P_{i}(\mu )L_{i}(x)}$

L'orthogonalité des polynômes s'écrit

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{i}(\mu )P_{j}(\mu )\mathrm {d} \mu ={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}}$

où δ_ij est la fonction de Dirac.

En multipliant l'équation donnant L(x, μ) par P_j et en intégrant sur μ il vient, compte tenu de la relation d'orthogonalité

${\displaystyle L_{i}(x)=\int _{-1}^{1}P_{i}(\mu )L(x,\mu )\mathrm {d} \mu }$

Les premiers polynômes ont une interprétation physique

• l'énergie volumique correspond à L₀

${\displaystyle E(x)={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{1}L(x,\mu )\mathrm {d} \mu ={\frac {2\pi }{c}}L_{0}(x)}$

où c est la vitesse de la lumière.

• l'exitance (flux) correspond à L₁ (loi de Lambert)

${\displaystyle M(x)=2\pi \int _{-1}^{1}L(x,\mu )\mu \mathrm {d} \mu =\pi L_{1}(x)}$

• la pression

${\displaystyle P(x)={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{1}L(x,\mu )\mu ^{2}\mathrm {d} \mu }$

La déviation au cours d'une interaction est supposée ne dépendre que du produit scalaire des angles définissant les directions de propagation Ω = (θ, Φ) et Ω' = (θ', Φ') et on définit la déviation par son cosinus α tel que

${\displaystyle \alpha =\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {\Omega } '=\mu \mu '+{\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\sqrt {1-\mu '^{2}}}\cos {(\phi -\phi ')}}$

La fonction de phase est développée en polynômes de Legendre

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {2i+1}{2}}g^{i}P_{i}(\alpha )}$

où les g_i sont les moments de Legendre de la fonction de phase

${\displaystyle g_{i}=\int _{-1}^{1}{\mathcal {P}}(\alpha )P_{i}(\alpha )\mathrm {d} \alpha }$

Le premier moment est souvent utilisé pour caractériser la dissymétrie de la fonction de phase, voire pour construire une fonction standard comme celle de Henyey-Greenstein^[3].

En multipliant l'équation de transfert par chacun des ${\displaystyle P_{j}}$ et en intégrant sur μ en tenant compte de la propriété d'orthogonalité des polynômes on obtient un système de N+1 équations pour N+2 inconnues ${\displaystyle L_{0},L_{1},...L_{N+1}}$. On fera donc une hypothèse pour clore le système. La plus simple consiste à imposer ${\displaystyle L_{N+1}=0}$ mais il existe des méthodes plus élaborées exprimant L_N+1 en fonction des termes connus^[4].

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} L_{1}}{\mathrm {d} x}}+(\kappa _{a}+\kappa _{d})L_{0}&=&S\\[0.6em]{\frac {i+1}{2i+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{i+1}}{\mathrm {d} x}}+\kappa _{i}L_{i}+{\frac {i}{2i+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{i-1}}{\mathrm {d} x}}&=&0\,,\qquad 1<i<N-2\\[0.6em]{\frac {N}{2N+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{N-1}}{\mathrm {d} x}}+\kappa _{N}L_{N}&=&0\end{array}}}$

où

${\displaystyle \kappa _{i}(x)=\kappa _{a}(x)+(1-g_{i})\kappa _{d}(x)}$

On montre^[5] que la solution tend vers la solution physique lorsque N → ∞.

Elle est équivalente en tous points (difficulté de mise en œuvre, performances en durée de résolution) à la méthode S_N, à l'exception des pathologies, différentes dans les deux cas : cette méthode est sensible au phénomène de Gibbs^[6].

L'approximation d'Eddington a été obtenue indépendamment des travaux de James Jeans mais elle constitue en fait la méthode P₁. Cette approximation est due à Arthur Eddington^[7]. En utilisant l'expression des deux premiers polynômes de Legendre et les quantités définies plus haut le développement s'écrit

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\nu )={\frac {1}{2}}\left[L_{0}(\mathbf {x} )+3\mu L_{1}(\mathbf {x} )\right]}$

D'où les quantités

${\displaystyle E={\frac {2\pi }{c}}L_{0}\,,\qquad M=\pi L_{1}\,,\qquad P={\frac {2\pi }{3c}}L_{0}={\frac {E}{3}}}$

Cette dernière expression constitue l'approximation d'Eddington.

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Cette méthode constitue une simplification de la méthode P_N (S pour simplified) proposée par E. M. Gelbart de manière heuristique^[8] et justifié ultérieurement par l'analyse asymptotique^[9] ou par une approche variationnelle^[10]. Dans cette méthode on omet la dérivée pour les valeurs paires de i, d'où

${\displaystyle L_{i}=-{\frac {1}{\kappa _{i}}}\left({\frac {i+1}{2i+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{i+1}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {i}{2i+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{i-1}}{\mathrm {d} x}}\right)}$

En rapportant cette expression dans le système P_N on obtient le système SP_N : pour i impair

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{3\kappa _{1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {2}{3\kappa _{1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{2}}{\mathrm {d} x}}\right)&=&-\kappa _{a}S\\[0.6em]{\frac {i(i-1)}{(2i+1)(2i-1)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{\kappa _{i-1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{i-2}}{\mathrm {d} x}}\right)+{\frac {(i+1)(i+2)}{(2i+1)(2i+3)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{\kappa _{i+1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{i+2}}{\mathrm {d} x}}\right)&&\\[0.6em]+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left({\frac {(i+1)^{2}}{(2i+1)(2i+3)\kappa _{i+1}}}+{\frac {i^{2}}{(2i+1)(2i-1)\kappa _{i-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{i}}{\mathrm {d} x}}\right]-\kappa _{i}L_{i}&=&0\end{array}}}$

Il s'agit d'un système d'équations de type diffusion donc sans difficulté numérique. Le nombre d'équations a été réduit par un facteur 2.