Méthode de Runge–Kutta symplectique d’ordre 4 (RKS4)

Soit un système hamiltonien :

${\displaystyle {\dot {X}}=f(t,X)}$

avec pas de temps ${\displaystyle \Delta t}$. Le schéma RKS4^[1] se compose de trois sous-étapes implicites :

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=X_{n}+{\frac {b_{1}}{2}}\Delta t\,f(t+{\frac {b_{1}}{2}}\Delta t\ ,\xi _{1}),\\\xi _{2}&=X_{n}+b_{1}\Delta t\,f(t+(b_{1}+{\frac {b_{2}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{1})+{\frac {b_{2}}{2}}\Delta t\,f(t+(b_{1}+{\frac {b_{2}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{2}),\\\xi _{3}&=X_{n}+b_{1}\Delta t\,f(t+(b_{1}+b_{2}+{\frac {b_{3}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{1})+b_{2}\Delta t\,f(t+(b_{1}+b_{2}+{\frac {b_{3}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{2})+{\frac {b_{3}}{2}}\Delta t\,f(t+(b_{1}+b_{2}+{\frac {b_{3}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{3}),\\\end{aligned}}}$

et d’une étape finale :

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}+b_{1}\Delta t\,f(t+{\frac {b_{1}}{2}}\Delta t\ ,\xi _{1})+b_{2}\Delta t\,f(t+(b_{1}+{\frac {b_{2}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{2})+b_{3}\Delta t\,f(t+(b_{1}+b_{2}+{\frac {b_{3}}{2}})\Delta t\ ,\xi _{3})}$

Les coefficients ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$ sont choisis pour garantir l’ordre 4 global et le caractère symplectique de la méthode, par exemple :

${\displaystyle b_{1}=b_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},\quad b_{2}=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}}.}$

Chaque sous-étape ${\displaystyle \xi _{i}}$ est implicite, nécessitant typiquement une Méthode de Newton pour être résolue.