Métrique intérieure de Schwarzschild

En relativité générale, la métrique intérieure de Schwarzschild^[1] est une solution de l'équation d'Einstein pour l'intérieur d'une boule statique de fluide parfait et incompressible^[2]^,^[3]^,^[4]. Elle est la plus simple des solutions analytiques qui permettent de modéliser l'intérieur d'une étoile relativiste^[2].

L'éponyme de la métrique est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916). Celui-ci en annonce la découverte par une lettre à Albert Einstein (1879-1955) datée du 6 février 1916^[5]. Le 24 février 1916, Einstein présente l'article de Schwarzschild à l'Académie royale des sciences de Prusse^[5] qui le publie dans ses Sitzungsberichte (« Comptes rendus ») le 23 mars 1916^[6].

Conditions aux limites

Les conditions aux limites sont les suivantes^[7] :

La pression $p$ du fluide doit être nulle $(p=0)$ à la surface $(r=a)$ de la boule ;
La densité d'énergie $\rho c^{2}$ du fluide doit être constante $(\rho ={\text{const.}})$ pour $0\leqslant r\leqslant a$ et nulle $(\rho =0)$ à l'extérieur $(r>a)$ de la boule ;
La métrique intérieure doit, à la surface de la boule, être identique à la métrique extérieure de Schwarzschild.

Expression

En coordonnées de Schwarzschild $(t,r,\theta ,\varphi )$ et avec une signature $(-+++)$ , la métrique peut s'écrire^[8] :

\mathrm {d} s^{2}=-{\frac {c^{2}}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {2GM}{ac^{2}r}}}}-{\sqrt {1-{\frac {2GM}{a3c2}}}}r\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\dfrac {2GM}{a^{3}c^{3}}}r}}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}

,

où :

$a$ est le rayon de la boule de fluide,
$M$ est sa masse,
$G$ est la constante gravitationnelle,
$c$ est la vitesse de la lumière dans le vide,
$\mathrm {d} \Omega ^{2}$ est la métrique d'une 2-sphère $\mathbb {S} ^{2}$ unité, $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}$ ,

et avec^[9] :

$a>{\frac {9GM}{4c^{2}}}$ .

Propriétés

Les propriétés d'une étoile modélisée par la métrique sont les suivantes.

La compacité $\Xi$ de l'étoile est donnée par^[10] :

\Xi ={\frac {GM}{c^{2}R}}={\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {4\pi \rho _{0}}{3M}}\right)^{\frac {1}{3}}={\frac {G}{c^{2}}}\left({\frac {4\pi \rho _{0}M^{2}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}

,

où :

$R$ est la coordonnée r à la surface de l'étoile ;
$\rho _{0}$ est la densité d'énergie à l'intérieur de l'étoile.

Ainsi, la masse de l'étoile peut s'exprimer en fonction de $\rho _{0}$ et de $\Xi$ ^[10] :

M=\left({\frac {c^{2}}{G}}\Xi \right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {3}{4\pi \rho _{0}}}}

.

Cela met en évidence qu'à $\rho _{0}$ fixé, $M$ est une fonction croissante de $\Xi$ ^[10].

L'étoile modélisée par la métrique n'est pas réaliste car à l'intérieur, la vitesse du son est infinie alors qu'en relativité, elle ne doit pas dépasser la vitesse limite qui coïncide avec celle la lumière dans le vide^[11].

Métrique intérieure de Schwarzschild

Conditions aux limites

Expression

Propriétés

Notes et références

Bibliographie

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