Nombre métallique

Diverses expressions du p-ième nombre métallique

• En tant que solution positive de l'équation du second degré ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, on obtient l'expression analytique du p-ième nombre métallique :

${\displaystyle \varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}}$

• En réécrivant l'équation sous la forme

${\displaystyle x=p+{1 \over x}}$

on en déduit son développement en fraction continue :

${\displaystyle \varphi _{p}=p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+\ddots \,}}}}}}}}=[p;p,\dots ]}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme ${\displaystyle x={\sqrt {1+px}}}$

on en déduit sa forme en radical imbriqué infini :

${\displaystyle \varphi _{p}={\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$.

• Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :

  ${\displaystyle \varphi _{p}=\int _{0}^{p}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{p+2} \over {2p}}\right)}\,\mathrm {d} x.}$

Rectangles métalliques

Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.

On obtient en effet la relation ${\displaystyle {\frac {l}{L-pl}}={L \over l}}$ qui donne ${\displaystyle x^{2}=px+1}$ si on pose ${\displaystyle x=L/l}$.

Premières valeurs

Faits en bref p, Expression ...

p	Expression	Écriture décimale	Métal associé	Suite récurrente associée
1	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
2	1 + √2	2,414213562 [note 1]	Argent	suite de Pell
3	3 + √13/2	3,302775638 [note 2]	Bronze	suite A006190 de l'OEIS
4	2 + √5	4,236067978 [note 3]		suite A001076 de l'OEIS
5	5 + √29/2	5,192582404 [note 4]		suite A052918 de l'OEIS
6	3 + √10	6,162277660 [note 5]		suite A005668 de l'OEIS
7	7 + √53/2	7,140054945 [note 6]		suite A054413 de l'OEIS
8	4 + √17	8,123105626 [note 7]		suite A041025 de l'OEIS
9	9 + √85/2	9,109772229 [note 8]		suite A099371 de l'OEIS
⋮
p	p + √4 + p2/2			suite A352361 de l'OEIS

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Expressions trigonométriques

Davantage d’informations , ...

Numéro du nombre métallique	1	2	3	4
Formule trigonométrique	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{13}}\left({\frac {\sin {\frac {2\pi }{13}}}{\cos {\frac {3\pi }{13}}}}+1\right)}$	${\displaystyle 8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}}$
Polygone régulier associé	Pentagone	Octogone	Tridécagone	29-gone

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Propriétés des puissances entières

De même que les puissances successives du nombre d'or vérifient ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}}$ où ${\displaystyle (F_{n})}$ est la suite de Fibonacci, les puissances des nombres métalliques vérifient :

${\displaystyle \varphi _{p}^{n}=G_{n}\varphi _{p}+G_{n-1}\,\,(1)}$

où la suite ${\displaystyle (G_{n})}$, définie par ${\displaystyle G_{0}=0,G_{1}=1,G_{n+2}=pG_{n+1}+G_{n}}$ est la p-suite de Fibonacci.

En prolongeant la suite ${\displaystyle (G_{n})}$ aux entiers négatifs et en acceptant les ${\displaystyle p}$ négatifs dans la définition de ${\displaystyle \varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}}$ , la relation (1) est valable pour tous les entiers relatifs.

Alors, si ${\displaystyle \varphi '_{p}=\varphi _{-p}=p-\varphi _{p}=-{1 \over {\varphi _{p}}}}$ est l'autre solution de ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, les puissances de ${\displaystyle \varphi '_{p}}$ vérifient également ${\displaystyle \varphi _{p}'^{n}=G_{n}\varphi _{p}'+G_{n-1}}$ de sorte que, par application de la formule de Binet, on a l'égalité :

${\displaystyle G_{n}={\frac {\varphi _{p}^{n}-\varphi _{p}'^{n}}{\varphi _{p}-\varphi _{p}'}}}$.

Remarquons aussi que puisque ${\displaystyle {1 \over {\varphi _{p}}}=\varphi _{p}-p}$, l'inverse d'un nombre métallique a la même partie fractionnaire que lui.

De plus, la propriété ${\displaystyle \varphi _{4}=\varphi ^{3}}$ se généralise. En effet, toute puissance impaire d'un nombre métallique est un autre nombre métallique :

${\displaystyle \varphi _{p}^{2n+1}=\varphi _{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}p^{2k+1}}}$

Par exemple, ${\displaystyle \varphi _{p}^{3}=\varphi _{\left(p^{3}+3p\right)}}$ .

Premières valeurs

Faits en bref p, Constante de ...

p	Constante de	Expression	Écriture décimale	Métal (appellation de [6])	Suite récurrente associée
2	Fibonacci	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
3	Tribonacci	${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+1}{3}}}$	1,8392867552 suite A058265 de l'OEIS	Argent	suite de Tribonacci
4	Tétranacci	Existence d'une expression par radicaux réels faisant intervenir ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{65+3{\sqrt {1689}}}}}$	1,927561975 suite A086088 de l'OEIS	Cuivre	suite de Tétranacci, suite A000078 de l'OEIS
5	Pentanacci	Pas d'expression par radicaux	1,9659482366 suite A103814 de l'OEIS	Nickel	suite de Pentanacci, suite A001591 de l'OEIS
6	Hexanacci	NC	1,983582843 suite A118427 de l'OEIS	Cobalt	suite d'Hexanacci, suite A001592 de l'OEIS
7	Heptanacci	NC	1,991964197 suite A118428 de l'OEIS	Fer	suite d'Heptanacci, suite A122189 de l'OEIS

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Étude de la suite des constantes de p-nacci

Cette suite croit strictement de 1 jusqu'à sa limite égale à 2. Ceci est aussi "confirmé" par la suite d' "infinacci" où chaque terme est la somme de tous les précédents, débutant par 0,1 : 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... où le quotient de termes consécutifs vaut exactement 2.

Un encadrement simple est ^[5]:

${\displaystyle 2-{\frac {1}{2^{p-1}}}\leqslant \alpha _{p}\leqslant 2-{\frac {1}{2^{p}}}}$.

Un développement asymptotique est ^[5]:

${\displaystyle \alpha _{p}=2-{\frac {1}{2^{p}}}-{\frac {p}{2^{2p+1}}}+o\left({\frac {1}{2^{p}}}\right)}$.

L'équation caractéristique possède une unique solution négative, supérieure à –1 pour p pair, et aucune pour p impair. Cette solution, ainsi que les solutions complexes ${\displaystyle \alpha }$ ont un module vérifiant ${\displaystyle 3^{-p}<|\alpha |<1}$, qui tend donc vers 1 quand p tend vers l'infini.