Nombre métallique

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Le nombre d'or permettant d'exprimer le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant la récurrence linéaire définissant la suite de Fibonacci ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}}$, il a été proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer, pour un nombre entier ${\displaystyle p\geqslant 1}$, le terme général des suites ${\displaystyle (u_{n}^{(p)})}$ vérifiant la récurrence linéaire :

${\displaystyle u_{n+2}^{(p)}=pu_{n+1}^{(p)}+u_{n}^{(p)}.}$

Par définition, le p-ième nombre métallique, noté ${\displaystyle \varphi _{p}}$, est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : ${\displaystyle x^{2}=px+1}$.

Si une telle suite tend vers l'infini, ${\displaystyle \varphi _{p}}$ est la limite du rapport ${\displaystyle u_{n+1}/u_{n}}$ .

Pour p = 2, le métal proposé a été l'argent, puis le bronze pour le nombre suivant^[1],[2],[3].

Les suites ${\displaystyle (u_{n}^{(p)})}$ ont été baptisées p-metallonacci sequences en anglais^[4].

• En tant que solution positive de l'équation du second degré ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, on obtient l'expression analytique du p-ième nombre métallique :

• En réécrivant l'équation sous la forme

${\displaystyle x=p+{1 \over x}}$

on en déduit son développement en fraction continue :

${\displaystyle \varphi _{p}=p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+{\cfrac {1}{p+\ddots \,}}}}}}}}=[p;p,\dots ]}$.

• En réécrivant l'équation sous la forme ${\displaystyle x={\sqrt {1+px}}}$

on en déduit sa forme en radical imbriqué infini :

${\displaystyle \varphi _{p}={\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$.

• Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :

  ${\displaystyle \varphi _{p}=\int _{0}^{p}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{p+2} \over {2p}}\right)}\,\mathrm {d} x.}$

Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.

On obtient en effet la relation ${\displaystyle {\frac {l}{L-pl}}={L \over l}}$ qui donne ${\displaystyle x^{2}=px+1}$ si on pose ${\displaystyle x=L/l}$.

p	Expression	Écriture décimale	Métal associé	Suite récurrente associée
1	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1,618033989	Or	suite de Fibonacci
2	1 + √2	2,414213562 [note 1]	Argent	suite de Pell
3	3 + √13/2	3,302775638 [note 2]	Bronze	suite A006190 de l'OEIS
4	2 + √5	4,236067978 [note 3]		suite A001076 de l'OEIS
5	5 + √29/2	5,192582404 [note 4]		suite A052918 de l'OEIS
6	3 + √10	6,162277660 [note 5]		suite A005668 de l'OEIS
7	7 + √53/2	7,140054945 [note 6]		suite A054413 de l'OEIS
8	4 + √17	8,123105626 [note 7]		suite A041025 de l'OEIS
9	9 + √85/2	9,109772229 [note 8]		suite A099371 de l'OEIS
⋮
p	p + √4 + p2/2			suite A352361 de l'OEIS

Numéro du nombre métallique	1	2	3	4
Formule trigonométrique	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{13}}\left({\frac {\sin {\frac {2\pi }{13}}}{\cos {\frac {3\pi }{13}}}}+1\right)}$	${\displaystyle 8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}}$
Polygone régulier associé	Pentagone	Octogone	Tridécagone	29-gone

De même que les puissances successives du nombre d'or vérifient ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}}$ où ${\displaystyle (F_{n})}$ est la suite de Fibonacci, les puissances des nombres métalliques vérifient :

${\displaystyle \varphi _{p}^{n}=G_{n}\varphi _{p}+G_{n-1}\,\,(1)}$

où la suite ${\displaystyle (G_{n})}$, définie par ${\displaystyle G_{0}=0,G_{1}=1,G_{n+2}=pG_{n+1}+G_{n}}$ est la p-suite de Fibonacci.

En prolongeant la suite ${\displaystyle (G_{n})}$ aux entiers négatifs et en acceptant les ${\displaystyle p}$ négatifs dans la définition de ${\displaystyle \varphi _{p}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}}$ , la relation (1) est valable pour tous les entiers relatifs.

Alors, si ${\displaystyle \varphi '_{p}=\varphi _{-p}=p-\varphi _{p}=-{1 \over {\varphi _{p}}}}$ est l'autre solution de ${\displaystyle x^{2}=px+1}$, les puissances de ${\displaystyle \varphi '_{p}}$ vérifient également ${\displaystyle \varphi _{p}'^{n}=G_{n}\varphi _{p}'+G_{n-1}}$ de sorte que, par application de la formule de Binet, on a l'égalité :

${\displaystyle G_{n}={\frac {\varphi _{p}^{n}-\varphi _{p}'^{n}}{\varphi _{p}-\varphi _{p}'}}}$.

Remarquons aussi que puisque ${\displaystyle {1 \over {\varphi _{p}}}=\varphi _{p}-p}$, l'inverse d'un nombre métallique a la même partie fractionnaire que lui.

De plus, la propriété ${\displaystyle \varphi _{4}=\varphi ^{3}}$ se généralise. En effet, toute puissance impaire d'un nombre métallique est un autre nombre métallique :

${\displaystyle \varphi _{p}^{2n+1}=\varphi _{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}p^{2k+1}}}$

Par exemple, ${\displaystyle \varphi _{p}^{3}=\varphi _{\left(p^{3}+3p\right)}}$ .