Nombre palindrome

Un nombre palindrome en base $b$ est un nombre entier dont l'écriture dans cette base est un palindrome, c'est-à-dire qu'elle se lit de la même façon de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche. Ainsi, 1, 11, 272 ou 9669 sont des nombres palindromes.

Définition en toute base b {\displaystyle b}

Un nombre est palindrome en base $b$ si et seulement si il s'écrit dans cette base selon l'une des formes suivantes ^[1] :

$N=(a_{0}a_{1}....a_{n-1}a_{n}a_{n}a_{n-1}...a_{0})_{b}$ , quand son écriture en base $b$ comprend un nombre pair de chiffres $a_{i}$ , ce qui peut s'écrire formellement comme : $N=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b^{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}b^{2n+1-i}$ .

$N=(a_{0}a_{1}....a_{n-1}a_{n}a_{n-1}...a_{0})_{b}$ , quand son écriture en base $b$ comprend un nombre impair de chiffres $a_{i}$ , ce qui peut s'écrire formellement comme : $N=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b^{i}+a_{n}b^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b^{2n+1-i}$ .

Ce qui peut également se formuler comme suit :

$N=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}$ avec $a_{i}=a_{k-i}$ pour tout $i$ .

Formes particulières

Certains nombres palindromes ont une forme et des propriétés qui leur ont valu de se voir attribuer une désignation spécifique, comme :

nombres uniformes : ce sont les nombres dont l'écriture dans une base $b$ est une répétition d'un seul et même chiffre, comme le nombre $8888$ ;

répunits : ce sont les nombres uniformes dont l'écriture dans une base $b$ est une répétition du chiffre 1, comme le nombre $111$ ;

nombres merveilleux de Demlo : ce sont les nombres pouvant être écrits dans une base $b$ sous la forme $N=(12...(k-1)k(k-1)...21)_{b}$ , comme le nombre $1234321$ .

Nombres palindromes inférieurs à un certain nombre

Dans toute base $b$ , il y a^[2] :

$b$ palindromes de longueur 1, qui sont les nombres à un seul chiffre. Par exemple, en base dix, il y a dix palindromes à un chiffre : $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ ;
$b-1$ palindromes de longueur 2, qui sont les nombres uniformes à deux chiffres non nuls^[3]. Par exemple, en base dix, les neuf palindromes à deux chiffres sont : $11,22,...,99$ ;
$b(b-1)$ palindromes de longueur 3. Par exemple, en base dix, les 90 palindromes à trois chiffres sont : $101,111,121,...,191,202,...,292,303,...,999$ ;
$b(b-1)$ palindromes de longueur 4. Par exemple, en base dix les 90 palindromes à quatre chiffres sont : $1001,1111,...,1991,2002,...,2992,3003,...,9999$ ;
puis $b^{2}(b-1)$ palindromes de longueur 5 et autant de longueur 6, $b^{3}(b-1)$ de longueur 7 et autant de longueur 8, etc.

Ce qui implique qu'il y a $b$ nombres palindromes inférieurs à $b$ , $2b-1$ inférieurs à $b^{2}$ , $2b-1+b(b-1)$ inférieurs à $b^{3}$ , etc.

Ainsi, par exemple, en base dix, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 10⁴. Il en existe 1 099 inférieurs à 10⁵ et pour les autres exposants de 10ⁿ, le nombre de palindromes inférieurs à 10ⁿ est: 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999,... (suite A070199 de l'OEIS).

Démonstration synthétique

Dans toute base $b$ , les nombres à un chiffre sont palindromes : il y a donc $b$ palindromes à un chiffre. Et les palindromes à deux chiffres en base $b$ s'écrivent dans cette base, par définition, sous la forme "aa", où "a" est un chiffre admissible non nul en base $b$ : donc il y a $b-1$ palindromes de longueur deux en base $b$ .

Remarquons que tout palindrome $J$ de longueur impaire $2k+1(k>0)$ est de la forme $J=(a_{0}a_{1}...a_{k-1}ca_{k-1}...a_{1}a_{0})_{b}$ . Ce palindrome $J$ est donc généré à partir du palindrome de longueur paire $P=(a_{0}a_{1}...a_{k-1}a_{k-1}...a_{1}a_{0})_{b}$ en insérant un chiffre $c$ en son milieu. Donc, s'il y a $p$ palindromes de longueur paire $2k$ , il y a $b\times p$ palindromes de longueur impaire $2k+1$ .

Remarquons ensuite que tout palindrome $P$ de longueur paire $2k(k>1)$ est de la forme $P=(a_{0}a_{1}...a_{k-1}a_{k-1}...a_{1}a_{0})_{b}$ . Ce palindrome est donc généré à partir du palindrome de longueur impaire $J=(a_{0}a_{1}...a_{k-2}a_{k-1}a_{k-2}...a_{1}a_{0})_{b}$ en insérant le chiffre $a_{k-1}$ en son milieu. Donc, s'il y a $q$ palindromes de longueur impaire $2k-1(k>1)$ , il y a également $q$ palindromes de longueur paire $2k$ .

En utilisant de façon récurrente ces deux propriétés à partir de la liste des $b-1$ palindromes de longueur deux, on démontre qu'en base $b$ il y a $b(b-1)$ palindromes de longueur trois et autant de longueur quatre, puis $b^{2}(b-1)$ de longueur cinq et autant de longueur six, etc.

En outre, comme les palindromes $N$ de longueur $n(n>1)$ sont tous tels que $b^{n-1}<N<b^{n}$ , on a démontré également qu'il y a : $b$ palindromes inférieurs à $b$ , $b+(b-1)$ inférieurs à $b^{2}$ , $b+(b-1)+b(b-1)$ inférieurs à $b^{3}$ , $b+(b-1)+2b(b-1)$ inférieurs à $b^{4}$ , $b+(b-1)+2b(b-1)+b^{2}(b-1)$ inférieurs à $b^{5}$ , etc.

Ce qui conclut la démonstration.

Propriétés

Les propriétés suivantes sont valides en toute base $b>1$ , sauf restriction explicitement mentionnée^[4].

Propriétés générales

La série des inverses des nombres palindromes non nuls est convergente quelle que soit la base^[5], vers $3,37028\cdots$ si la base est dix (suite A118031 de l'OEIS).
Tout nombre entier $n$ est palindrome dans toutes les bases $b\geqslant n+1$ (car $n$ est alors un nombre à un seul chiffre), et tout $n>2$ est aussi palindrome dans la base $n-1$ (car il s'écrit alors $11_{n-1}$ ).
Dans toute base $b>4$ , tout entier est somme d'au plus trois nombres palindromes, cette borne est optimale car il existe pour toute base supérieure ou égale à deux une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux nombres palindromes (en base dix, c'est par exemple le cas de $21$ )^[2].
Les nombres palindromes de taille paire sont multiples de $11$ (voir Liste de critères de divisibilité#Critère de divisibilité par 11).
Dans toute base $b>5$ , le palindrome $252$ est égal au produit de $12$ par son "inverse" $21$ .

Palindromes générés à partir de répunits

Les répunits sont les palindromes constitués uniquement de chiffres "1". En toute base $b$ les premiers répunits s'écrivent : $1,11,111,1111$ , etc.

Les répunits ont des propriétés particulières relatives aux palindromes, notamment dans des opérations multiplicatives

Carré de répunits

En toute base $b$ , le carré de tout répunit de longueur $n<b$ est un nombre merveilleux de Demlo, donc aussi un palindrome.

Démonstration

Raisonnons d'abord en base dix. Soit $R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}$ le répunit de longueur $n$ .

Donc : $R_{n}^{2}=R_{n}+10\times R_{n}+10^{2}\times R_{n}+\cdots +10^{n-1}\times R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}+\sum _{k=1}^{n}10^{k}+\sum _{k=2}^{n+1}10^{k}+\cdots +\sum _{k=n-1}^{2n-2}10^{k}$ .

Et en sommant par puissances de 10 :

$R_{n}^{2}=1\times 10^{0}+2\times 10^{1}+3\times 10^{2}+\cdots +n\times 10^{n-1}+(n-1)\times 10^{n}+(n-2)\times 10^{n-1}+\cdots +2\times 10^{2n-1}+1\times 10^{2n-2}$ .

Ce qui démontre la propriété en base dix pour $n$ allant de $1$ à $9$ .

En remplaçant "10" par "b", le même raisonnement établit le résultat annoncé pour toute base $b$ et $n<b$ .

Exemples en base dix :

11^{2}=121;111^{2}=12321;\cdots ;111111^{2}=12345654321;\cdots ;111111111^{2}=12345678987654321

.

Puissances de 11 b {\displaystyle 11_{b}} et triangle de Pascal

En toute base $b$ , le nombre $n=b+1=11_{b}$ est palindrome, et ses puissances $n^{k}$ le sont également jusqu'à un exposant $k(b)$ dépendant de $b$ . Le triangle de Pascal permet de trouver cette limite, ainsi que d'écrire, en base $b$ , toutes les puissances de $11_{b}$ jusqu'à $11_{b}^{k(b)}$

Démonstration partielle

Tout entier $n>2$ s'écrit $11_{b}$ en base $b=n-1$ car $n=(n-1)+1=11_{n-1}$ . L'étude des nombres de la forme $11_{b}^{k}$ est donc celle des nombres de la forme $(b+1)^{k}$ . Or ces nombres, exprimés comme somme de puissances de $b$ affectées de coefficients entiers, sont des polynômes unitaires d'indéterminée $b$ dont les coefficients sont les coefficients binomiaux. De façon formelle : $(b+1)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}b^{k-i}$ avec ${k \choose i}={\frac {k!}{i!(k-i)!}}$

Le triangle de Pascal permet de calculer simplement, par additions successives, les coefficients $\textstyle {k \choose i}$ . En remarquant que $\textstyle {k \choose i}=\textstyle {k \choose {k-i}}$ , ou en regardant le triangle de Pascal, on constate que $(b+1)^{k}$ est un palindrome en base $b$ si tous les coefficients $\textstyle {k \choose i}$ sont des chiffres en base $b$ , ce qui est équivalent à dire que $b>\textstyle {k \choose i}$ . Or $max\textstyle {k \choose i}$ est le coefficient binomial central pour $b$ pair, ou celui se trouvant de part et d'autre de l'axe central du triangle de Pascal lorsque $k$ est impair. Plus formellement le coefficient maximal est $\textstyle {k \choose p}$ où $p$ est défini par $k=2p$ si $k$ est pair, et $k=2p+1$ si $k$ est impair. Ce qui conclut la démonstration.

Exemples :

en utilisant le triangle de Pascal (illustration de droite), on peut affirmer qu'en base six les quatre premières puissances du nombre sept ( $7_{10}=11_{6}$ ) sont palindromes et s'écrivent : $1,11,121,1331$ ;
en base neuf, les cinq premières puissances du nombre dix ( $10_{10}=11_{9}$ ) s'écrivent $1,11,121,1331,14641$ , qui sont tous des palindromes. Mais $10_{10}^{5}=11_{9}^{5}$ n'est pas un palindrome en base neuf, où il s'écrit : $162151_{9}$ .

Puissances de n {\displaystyle n} en base b = n 2 − 1 {\displaystyle b=n^{2}-1}

Tout entier $n>1$ est palindrome en base $b=n^{2}-1$ , ainsi que $n^{2}$ , $n^{3}$ et $n^{4}$ . En outre, si $n>2$ , $n^{5}$ , $n^{6}$ et $n^{8}$ sont palindromes en base $b$ ,et si $n>3$ , $n^{7}$ et $n^{10}$ le sont aussi.

Démonstration partielle

Pour un entier $n>1$ , choisissons la base $b=n^{2}-1$ et examinons les puissances de $n$ écrites dans cette base. Nous avons $n^{2}=b+1=11_{b}$ qui est palindrome. En outre $n>1$ donc $b>2$ et $b>n$ : on peut donc écrire le nombre $n$ avec un seul chiffre en base $b$ , donc $n=n^{1}=n_{b}$ est un palindrome, ainsi que les nombres s'écrivant $nn_{b}=n\times 11_{b}=n^{3}$ et $n^{4}=11_{b}\times 11_{b}=121_{b}$ . Sont aussi palindromes, si $n>2$ donc $b>7$ , $n^{6}=1331_{b}$ ainsi que $n^{8}=14641_{b}$ . En outre, si $n>2$ alors $b>2n$ donc $(2n)$ est un chiffre en base $b$ et $n^{5}=nb^{2}+2nb+n$ est le palindrome qui s'écrit $n(2n)n_{b}$ . De même si $n>3$ alors $b>3n$ et $n^{7}=nb^{3}+(3n)b^{2}+(3n)b+n$ est le palindrome $n(3n)(3n)n_{b}$ , et, comme $b>10$ , $n^{10}$ s'écrit : $15AA51_{b}$ . Ce qui conclut la démonstration.

Exemple : dans la base vingt-quatre, les neuf premières puissances de 5 (24=5²-1) sont palindromes, ainsi que la onzième :

5⁰	=	1	5⁵	=	5A5
5¹	=	5	5⁶	=	1331
5²	=	11	5⁷	=	5FF5
5³	=	55	5⁸	=	14641
5⁴	=	121

5^A	=	15AA51

Palindromes de la forme "1344...4431", "13566...6531" et "136899...98631"

Le répunit $11$ permet de générer une infinité de palindromes aux caractéristiques prévisibles^[4] : en toute base $b>2$ on a $11\times 11=121$ , et en toute base $b>3$ on a $11\times 11\times 11=1331$ . En outre, dans toute base $b>4$ , en multipliant par $11^{2}$ les répunits suivants ( $111,1111,\cdots$ ) on obtient une suite de nombres palindromes dont les deux premiers chiffres sont "13" et les deux derniers "31", ces deux groupes étant séparés d'une suite de chiffres "4"^[2]. Plus précisément, en posant $R_{b}(n)=(\underbrace {111\cdots 1} _{n})_{b}$ , on a, en toute base $b>4$ pour $n>2$ :

R_{b}(2)\times R_{b}(2)\times R_{b}(n)=(13\underbrace {44\cdots 4} _{n-2}31)_{b}

Démonstration

Soit en base $b$ le répunit $R_{b}(n)=b^{n-1}+b^{n-2}+...+b^{2}+b+1$ . Donc $20_{b}\times R_{b}(n)=2b^{n}+2b^{n-1}+...+2b^{2}+2b$ , et $100_{b}\times R_{b}(n)=b^{n+1}+b^{n}+...+b^{2}$ .

En additionnant ces trois nombres, on obtient: $121_{b}\times R_{b}(n)=100_{b}\times R_{b}(n)+20_{b}\times R_{b}(n)+R_{b}(n)=b^{n+1}+3b^{n}+4b^{n-1}+4b^{n-2}+\cdots +4b^{2}+3b+1$ .

Ce qui démontre la propriété.

Exemples : en toute base supérieure ou égale à cinq

11\times 11\times 111=13431

, et

11\times 11\times 111111=13444431

La propriété précédente peut être étendue comme suit^[2]:

En toute base $b>6$ , en multipliant $11$ par $111$ puis par un répunit supérieur à $111$ on obtient un palindrome de la forme $135666\cdots 6531$ .
En toute base $b>9$ , en multipliant $111$ par $111$ puis par un répunit supérieur à $1111$ on obtient un palindrome de la forme $136899\cdots 98631$ .

Palindromes en base dix

La numération en base dix étant la plus couramment utilisée, les nombres palindromes en base dix sont très étudiés. Le tableau ci-dessous donne quelques résultats de recherche relatifs à ces nombres : palindromes pairs ou impairs, carrés, sans carrés, etc.

	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n naturel	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n pair	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n impair	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n carré parfait	4		7		14	15	20		31
n premier	4	5	20		113		781		5953
n sans carré	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n avec carré (μ(n)=0)	3	6	41	78	423	+	+	+	+	+
n carré avec racine première	2		3		5
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1)	2	6	35	56	324	+	+	+	+	+
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1)	5	7	33	65	352	+	+	+	+	+
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts	1	2	9	21	100	+	+	+	+	+
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers	0	1	12	37	204	+	+	+	+	+
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts	0	0	4	24	139	+	+	+	+	+
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts	1	2	11	15	98	+	+	+	+	+
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts	1	4	24	41	226	+	+	+	+	+
n impair avec exactement deux facteurs premiers	1	4	25	39	205	+	+	+	+	+
n pair avec exactement deux facteurs premiers	2	3	11		64	+	+	+	+	+
n pair avec exactement trois facteurs premiers	1	3	14	24	122	+	+	+	+	+
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers	0	1	12	34	173	+	+	+	+	+
n nombre de Carmichael	0	0	0	0	0	1+	+	+	+	+
n pour lequel σ(n) est palindrome	6	10	47	114	688	+	+	+	+	+

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade est le nom de la conteuse dans Les Mille et Une (1001) Nuits^[6].

Des additions ayant un palindrome pour résultat

Prenez un nombre au hasard. Additionnez le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut généralement obtenir un palindrome.

Exemples : 1234 + 4321 = 5555 est un palindrome. Et le palindrome 1991 est obtenu à partir de 149 en deux étapes (149 + 941 = 1090 puis 1090 + 0901 = 1991).

Cette règle semble fonctionner en un nombre fini d'étapes pour presque tous les nombres.

Il est cependant conjecturé qu'elle pourrait ne pas fonctionner pour certains nombres, appelés nombres de Lychrel. Des calculs par ordinateur sur de très grands nombres d'itérations ont en effet échoué à produire un palindrome à partir de certains entiers, le plus petit d'entre eux étant 196.

Bases autres que dix

Base deux

Les nombres palindromes binaires sont : 0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

ou, écrits en décimal : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, …( suite A006995 de l'OEIS).

Tous les nombres de Fermat et de Mersenne sont des nombres palindromes binaires. En effet :

Un nombre de Fermat $F_{n}$ est défini par $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ , soit, écrit en base deux : $F_{n}=1\underbrace {00...0} _{2^{n}-1}1$ .
Un nombre de Mersenne $M_{n}$ est défini par $M_{n}=2^{n}-1$ , soit, écrit en base deux : $M_{n}=1\underbrace {0....0} _{n}-1=\underbrace {11...1} _{n}$ .

Il existe des nombres de Lychrel en base deux^[7], notamment le nombre $10110_{2}$ , qui s'écrit en base dix : $22$ .

Base dix-huit

En base dix-huit, certaines puissances de 7 sont palindromes :

7⁰	=	1	7⁴	=	777
7¹	=	7	7⁶	=	12321
7³	=	111	7⁹	=	1367631

Nombres palindromes dans plusieurs bases

Tout nombre $n$ est palindrome dans une infinité de bases puisqu'il l'est dans toutes les bases $b$ avec $b\geqslant n+1$ (car $n$ est alors un nombre à un seul chiffre). Et tout $n>2$ est également palindrome dans la base $n-1$ (car $n$ s'écrit alors $11_{n-1}$ ).

La plupart des nombres sont palindromes dans plusieurs bases inférieures au nombre lui-même. Par exemple : $105_{10}=1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}$ et $1991_{10}=7C7_{16}=11_{1990}$ .

$6643$ est le plus petit nombre palindrome en base deux et en base trois^[2]: $6643_{10}=1100111110011_{2}=100010001_{3}$ .

Un nombre non palindrome dans toutes les bases $2\leqslant b<n-1$ est appelé un nombre strictement non palindrome. Les nombres de ce type forment la suite OEIS A016038 qui commence par : 0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, 1019, 1049, 1061, 1187, 1213, 1237, 1367, 1433, 1439, 1447, 1459. Tous les nombres de cette liste supérieurs à 6 sont des nombres premiers.

Nombres palindromes dans la vie courante

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palindromic number » (voir la liste des auteurs).

↑ Avec $0\leqslant a_{i}<b$ et $a_{0}>0$ si n>0.
1 2 3 4 5 Jean-Paul Delahaye, « 121, 404 et autres nombres palindromes », Pour la science, n^o 480,‎ octobre 2017, p. 80-85 (lire en ligne).
↑ Car la forme "00" n'est pas admissible.
1 2 La restriction, souvent mentionnée, de certaines propriétés à des bases $b$ supérieures à un certain entier $n$ vient généralement de l'obligation, pour que cette propriété soit vérifiée, de pouvoir utiliser un chiffre "c" tel que $c_{b}=n$ . Par exemple, pour pouvoir écrire le nombre $13431_{b}$ , il faut pouvoir utiliser le chiffre "4", donc avoir $b>4$ .
↑ Jeffrey Shallit (prop.) et H. Klauser (sol.), « Elementary problems and solutions — B441. Sum of base-b palindrome reciprocals », Fibonacci Quarterly, vol. 19,‎ 1981, p. 469 (lire en ligne).
↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 277
↑ Jean-Paul Delahaye, « Déconcertantes conjectures », Pour la Science, n^o 367,‎ 2008 (lire en ligne).
↑ « 666, l'énigme du chiffre de la bête », sur BnF Essentiels (consulté le 24 décembre 2025)
↑ « Client Challenge », sur picsou.fandom.com (consulté le 29 décembre 2025)