Nombre pentagonal

Pour avoir ${\displaystyle n}$ points sur chaque côté du pentagone extérieur, on ajoute à l'étape ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 5-1}$ points aux sommets du pentagone et ${\displaystyle (5-2)(n-2)}$ points à l'intérieur des côtés, d'où ${\displaystyle P_{5,n}-P_{5,n-1}=4+3(n-2)=3(n-1)+1}$.

Donc ${\displaystyle P_{5,n}=\sum _{k=1}^{n}(3(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(3k+1)=3{\frac {n(n-1)}{2}}+n={n(3n-1) \over 2}}$.

De la formule générale ${\displaystyle P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}}$, découle que ${\displaystyle P_{5,n}}$ est la somme du nombre carré d'ordre ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle C_{n}=P_{2,n}}$ et du nombre triangulaire d'ordre ${\displaystyle n-1}$ : ${\displaystyle P_{5,n}=C_{n}+T_{n-1}=n^{2}+n(n-1)/2}$ .

• ${\displaystyle P_{5,n}=n+3T_{n-1}=3T_{n}-2n}$ est congru à ${\displaystyle n}$ modulo 3.
• ${\displaystyle P_{5,n}=\sum _{k=n}^{2n-1}k=T_{2n-1}-T_{n-1}}$.
• ${\displaystyle P_{5,n}=T_{n}+2T_{n-1}}$

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 5 nombres pentagonaux et on ne connait que six entiers ne pouvant pas s'écrire comme somme de moins de cinq nombres pentagonaux : ${\displaystyle 9,21,31,43,55,89}$. On conjecture qu'il n'y en a pas d'autres, voir la suite A133929 de l'OEIS.

Un réel positif ${\displaystyle x}$ est un nombre pentagonal si et seulement si l'équation du second degré 3n² – n – 2x possède une solution entière ${\displaystyle n}$ > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :

${\displaystyle n={\frac {1+{\sqrt {24x+1}}}{6}}.}$

Lorsque ${\displaystyle n}$ est entier, ${\displaystyle x}$ est le ${\displaystyle n}$-ième nombre pentagonal.