Nombre dodécaédrique

On obtient ${\displaystyle D_{n}}$ à partir de la relation :

${\displaystyle D_{n}-D_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$

où ${\displaystyle S=20,A=30,F=12}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, ${\displaystyle \{k,d\}=\{5,3\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et ${\displaystyle P_{k,n}}$ le nombre k-gonal d'ordre n^[2].

On obtient donc ${\displaystyle D_{n}-D_{n-1}=(20-1)+(30-3)(n-2)+(12-3)(n(3n-1)/2-5(n-1))={\frac {27n^{2}-45n+20}{2}}}$.

D'où ${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{2}}\left(27{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-45{\frac {n(n+1)}{2}}+20n\right)={n(3n-1)(3n-2) \over 2}}$.