Noyau de sommabilité

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En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.

Soit $X$ l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$ ^[1] ou le cercle unité $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ ^[2]^,^[3] (ou $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ^[4]), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).

Un noyau de sommabilité sur $X$ est une famille $(k_{t})_{t>0}$ ^[5] de fonctions intégrables sur $X$ telle que :

$\int _{X}k_{t}=1$
$\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|<\infty$
pour tout fermé $Y$ de $X$ ne contenant pas $0$ , $\lim _{t\to 0^{+}}\int _{Y}|k_{t}|=0$ .

Une variante^[6] est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, $t\to 0^{+}$ par $n\to +\infty$ .

Si les fonctions $k_{t}$ sont positives, la condition 2 est clairement redondante.

Exemples

Sur $\mathbb {R} ^{n}$ , si $k$ est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille $(k_{t})_{t>0}$ définie par $k_{t}(x):=t^{-n}k(x/t)$ est un noyau de sommabilité^[1]^,^[7].

Un exemple^[1] est le noyau de Poisson sur $\mathbb {R}$ , qui correspond à la fonction $k:x\mapsto {\frac {1}{\pi }}{\frac {x}{1+x^{2}}}$ .
Un autre^[8] est le noyau de Gauss-Weierstrass sur $\mathbb {R} ^{n}$ , qui correspond à la fonction gaussienne $k:x\mapsto \exp(-\pi \|x\|^{2})$ .
On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».

Sur le cercle :

le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité ( $\|D_{n}\|_{1}\to \infty$ ) mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un^[9].
le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par $t:=1-r$ avec $r\in [0,1[$ ^[10]) sont des noyaux de sommabilité.
le noyau de Gauss-Weierstrass sur $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ est le noyau de sommabilité $(w_{t})_{t>0}$ donné par^[11] : $w_{t}(x):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-4\pi ^{2}n^{2}t+2\pi \mathrm {i} nx}={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\sum _{j=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x+j)^{2}/4t}$ .

Approximation par convolution

La principale^[12] propriété des noyaux de sommabilité est la suivante.

Théorème — Pour tout noyau de sommabilité $(k_{t})_{t>0}$ (sur $X=\mathbb {R} ^{n}$ ou le cercle),

\lim _{t\to 0^{+}}k_{t}\ast f=f

, aux sens suivants :

uniformément sur K, si $f$ est mesurable et bornée et si K est un compact en tout point duquel $f$ est continue^[13] ;
uniformément sur X, si $f$ est continue et (si $X=\mathbb {R} ^{n}$ ) nulle à l'infini^[1]^,^[11]^,^[14] ;
dans $L p (X)$ ( $1 \leq p < \infty$ ), si $f$ est p-intégrable^[1]^,^[11]^,^[15].

Démonstration

D'après l'hypothèse 1 :

k_{t}\ast f(x)-f(x)=\int _{X}k_{t}(y)\left(f(x-y)-f(x)\right)\,\mathrm {d} y

.

Notons $M=\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|$ (fini d'après l'hypothèse 2) et fixons $\varepsilon >0$ .

Il existe $\eta >0$ tel que si $|y|<\eta$ alors $\forall x\in K\quad |f(x-y)-f(x)|\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$ . Pour tout $x\in K$ , on en déduit :
$\left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{\infty }\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y$

donc (d'après l'hypothèse 3) pour $t$ suffisamment proche de $0$ :

$\forall x\in K\quad \left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon$ .
Le calcul est identique, en remplaçant partout « $x\in K$ » par « $x\in X$ ».
D'après l'inégalité intégrale de Minkowski,
${\begin{aligned}\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}&\leq \left[\int _{X}\left(\int _{X}\left|f(x-y)-f(x)\right|\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right]^{1/p}\\&\leq \int _{X}\|\tau _{y}f-f\|_{p}\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\end{aligned}}$

où l'opérateur de translation $\tau _{y}$ est défini par $\tau _{y}f(x):=f(x-y)$ .

Or il existe $\eta >0$ tel que si $|y|<\eta$ alors $\|\tau _{y}f-f\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$ donc tel que

$\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{p}\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y$ .

On en déduit (d'après l'hypothèse 3) que pour $t$ suffisamment proche de $0$ :

$\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq \varepsilon$ .

Notes et références

1 2 3 4 5 Cerda 2010, p. 54-55.
↑ Katznelson 2004, p. 10-13.
↑ Cerda 2010, p. 55-58.
↑ Montgomery 2014, p. 130-131.
↑ Cerda 2010 parle d'une famille indexée par une partie de $\left]0,+\infty \right[$ à laquelle $0$ est adhérent.
↑ Katznelson 2004 et Montgomery 2014.
↑ Rudin 1991, p. 173, § II.6.31, réserve le nom d'« identité approchée sur $\mathbb {R} ^{n}$ » aux familles $(k_{t})_{t>0}$ construites de cette façon, avec même $k$ fonction test positive.
↑ Cerda 2010, p. 72-73.
↑ Cerda 2010, p. 58.
↑ Katznelson 2004, p. 16.
1 2 3 Igari 2000, p. 195.
↑ À tel point que Laurent Claessens, Le Frido, vol. 3, TheBookEdition, 2016 (lire en ligne), p. 1151, appelle « unités approchées » les noyaux de sommabilité.
↑ Lang 2012, p. 228-229 et, dans le cas où ce compact est un singleton, Claessens 2016, p. 1151-1152.
↑ Claessens 2016, p. 1151, suppose seulement que $f$ est uniformément continue et bornée.
↑ Claessens 2016, p. 1151.

Noyau de sommabilité

Exemples

Approximation par convolution

Notes et références

Bibliographie

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