Opérateur carré du champ

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Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}},\mu )}$ soit un espace mesuré σ-fini, soit ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ un semi-groupe de Markov d'opérateurs non négatifs sur ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$, soit ${\displaystyle A}$ le générateur infinitésimal de ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ et soit ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ l'algèbre des fonctions dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$.

L' opérateur carré du champ d'un semi-groupe markovien ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ est l'opérateur ${\displaystyle \Gamma$ :{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} } défini^[4] par

${\displaystyle \Gamma (f,g)={\frac {1}{2}}\left(A(fg)-fA(g)-gA(f)\right)}$

pour tout ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {A}}}$^[2],[5].

De la définition, il découle que^[1]

${\displaystyle \Gamma (f,g)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {1}{2t}}\left(P_{t}(fg)-P_{t}fP_{t}g\right).}$

Pour ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$, on a ${\displaystyle P_{t}(f^{2})\geq (P_{t}f)^{2}}$ et donc ${\displaystyle A(f^{2})\geq 2fAf}$ et

${\displaystyle \Gamma (f):=\Gamma (f,f)\geq 0,\quad \forall f\in {\mathcal {A}}}$

ce qui montre que l'opérateur du carré du champ est positif.

Son domaine est

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A):=\left\{f\in L^{2}(X,\mu );\;\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}}{\text{ existe et est dans }}L^{2}(X,\mu )\right\}.}$

La définition donnée dans la thèse de Roth^[3] est légèrement différente.