Point de Weierstrass

On considère les espaces vectoriels

${\displaystyle L(0),L(P),L(2P),L(3P),\dots }$

où ${\displaystyle L(kP)}$ est l'espace des fonctions méromorphes sur ${\displaystyle S}$ dont l'ordre en ${\displaystyle P}$ est au moins ${\displaystyle -k}$ et n'ayant aucun autre pôle. Trois propriétés sont établies : la dimension de chaque espace est au moins de 1, à cause des fonctions constantes sur ${\displaystyle S}$ ; c'est une suite croissante d'espaces vectoriels ; et d'après le théorème de Riemann-Roch, pour ${\displaystyle k\geq 2g-1}$ la dimension du ${\displaystyle k}$-ième terme est

${\displaystyle l(kP)=k-g+1.}$

On sait donc que la suite des dimensions est de la forme

${\displaystyle 1,?,?,\dots ,?,g,g+1,g+2,\dots .}$

Si on ne connait pas les termes "?", on sait cependant qu'ils ne peuvent s'incrémenter que 1 à chaque fois (en effet, ${\displaystyle L(nP)/L((n-1)P)}$ a une dimension au maximum égale à 1, car si ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ ont le même ordre en ${\displaystyle P}$, alors ${\displaystyle f+cg}$ aura un pôle d'ordre inférieur lorsqu'on choisit la constante ${\displaystyle c}$ pour annuler le terme dominant). Il y a ${\displaystyle 2g-2}$ points d'interrogation ici, donc dans les cas ${\displaystyle g=0}$ ou ${\displaystyle 1}$ on connaît entièrement la suite.

On suppose donc ${\displaystyle g\geq 2}$. Il y aura ${\displaystyle g-1}$ incrément de 1, et ${\displaystyle g}$ étapes sans incrément. Un point non-Weierstrass de ${\displaystyle S}$ est un point pour lequel les incréments sont aussi à droite que possible : autrement dit la suite ressemble à

${\displaystyle 1,1,\dots ,1,2,3,4,\dots ,g-1,g,g+1,\dots .}$

Tout autre cas est un point de Weierstrass. Une lacune pour ${\displaystyle P}$ est une valeur ${\displaystyle k}$ telle qu'aucune fonction sur ${\displaystyle C}$ a un pôle d'ordre exactement ${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle P}$ seulement. La suite des lacunes est

${\displaystyle 1,2,\dots ,g}$

pour un point non-Weierstrass. Pour un point de Weierstrass, il contient au moins un nombre plus grand. Le Lückensatz est l'affirmation selon laquelle il doit y avoir ${\displaystyle g}$ lacunes.

Pour les courbes hyperelliptiques, par exemple, il existe pour certains points ${\displaystyle P}$ une fonction ${\displaystyle F}$ avec un pôle double en ${\displaystyle P}$ seulement. Ses puissances ont des pôles d'ordre ${\displaystyle 4,6,...}$ Par conséquent, un tel ${\displaystyle P}$ a pour lacunes

${\displaystyle 1,3,5,\dots ,2g-1.}$

En général, si les lacunes sont

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$

le poids du point de Weierstrass est

${\displaystyle w(P)=\sum _{i=1}^{g}(a_{i}-1)}$

Sur une surface de Riemann, la somme des poids des points de Weierstrass est ${\displaystyle g(g^{2}-1).}$

La multiplication des fonctions donne aux valeurs qui ne sont pas des lacunes une structure de demi-groupe numérique, et une vieille question d'Adolf Hurwitz demande une caractérisation des semi-groupes qui peuvent être obtenus de cette façon. Une condition nécessaire a été trouvée par R.-O. Buchweitz en 1980, ainsi qu'un exemple d'un sous-demi-groupe des entiers positifs avec 16 lacunes qui n'est pas le demi-groupe d'un point sur une surface de genre 16^[1].

Une définition de point de Weierstrass pour une courbe non singulière sur un corps de caractéristique positive a été donnée par FK Schmidt en 1939.

Plus généralement, pour une courbe algébrique non singulière ${\displaystyle C}$ défini sur un corps algébriquement clos ${\displaystyle k}$ de caractéristique ${\displaystyle p\geq 0}$, les lacunes de tous les points en dehors d'un ensemble fini forment une suite fixe ${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{g}}$. Ces points sont appelés points non-Weierstrass, et tous les points de ${\displaystyle C}$ dont la suite des lacunes est différente sont appelés points de Weierstrass.

Si ${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{g}=1,...,g}$, la courbe est dite classique. En caractéristique zéro, toutes les courbes sont classiques.

Les courbes hermitiennes sont un exemple de courbes non classiques. Ce sont des courbes projectives définies sur un corps fini ${\displaystyle GF(q^{2})}$ par l'équation ${\displaystyle y^{q}+y=x^{q+1}}$, où ${\displaystyle q}$ est une puissance d'un nombre premier.