Potentiels de Liénard-Wiechert

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On peut utiliser les potentiels de Liénard-Wiechert pour calculer le champ électrique E et le champ magnétique B engendrés par une charge ponctuelle q animée d'un mouvement quelconque. Pour cela, on utilise les relations générales :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

Les champs dérivant des potentiels de Liénard-Wiechert sont :

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {{\vec {n}}-{\vec {v}}/c}{r^{2}\gamma ^{2}\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}+{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\left[{\frac {{\vec {n}}\wedge \left[\left({\vec {n}}-{\vec {v}}/c\right)\wedge {\vec {a}}\right]}{r\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {q\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {{\vec {v}}\wedge {\vec {n}}}{r^{2}\gamma ^{2}\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}+{\frac {q\mu _{0}}{4\pi c}}\left[{\frac {{\vec {n}}\wedge \left({\vec {n}}\wedge \left(({\vec {n}}-{\vec {v}}/c)\wedge {\vec {a}}\right)\right)}{r\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\vec {n}}{c}}\wedge {\vec {E}}}$

Où on retrouve ${\displaystyle \gamma }$ le facteur de Lorentz, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ l'accélération de la particule et ${\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\vec {r}}{||r||}}}$ le vecteur radial de la base sphérique. Dans ces expressions on notera que le premier terme lié au champ électrostatique diminue en ${\displaystyle 1/r^{2}}$, il s'exprimera donc en champ proche tandis que le second terme en ${\displaystyle 1/r}$ s'exprimera en champ lointain. La notation ${\displaystyle \left[...\right]_{tr}}$ indique que les valeurs sont évaluées avec un instant retardé ${\displaystyle t_{r}}$ de façon à prendre en compte le temps de propagation du champ jusqu'à l'observateur. Ces différentes caractéristiques transparaissent également dans les équations de Panofsky-Phillips, qui donnent les mêmes expressions sous forme intégrale.

Sur les illustrations ci-contre, on observe le résultat d'un événement qui a eu lieu au centre de la sphère à une distance ${\displaystyle c.t_{r}}$. Durant ce temps ${\displaystyle t_{r}}$, la particule continue son mouvement et n'est donc plus forcement au centre de la sphère au moment de l'observation. Pour les champs engendrés par une accélération non nulle, on remarquera la symétrie axiale du champ par rapport au vecteur accélération lorsque ${\displaystyle v\ll c}$ puis la concentration des radiations dans la direction de la trajectoire lorsque ${\displaystyle v\approx c}$^[1].

A l'ordre le plus bas en ${\displaystyle 1/c}$ le champ magnétique est indépendant de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ et a pour expression :

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\vec {n}}}{c^{2}}}+o\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

Champ électrostatique

Le terme ${\displaystyle {\vec {n}}-{\vec {v}}/c}$ dans le premier terme évalue le champ électrostatique comme si la particule continuait son mouvement uniforme pendant ${\displaystyle t_{r}}$. Lorsque la vitesse de la particule est très proche de ${\displaystyle c}$, celle-ci se trouve alors quasiment sur le front d'onde, donc très proche de l'observation, générant un champ important. À l’extérieur de la sphère d'observation, le champ électrique est dans sont état initial (pas de connexion avec l’événement observé). Dans la pratique, on considère que le champ électrostatique d'une particule chargée voyageant à une vitesse très proche de ${\displaystyle c}$ est perpendiculaire à la trajectoire avec une ouverture de ${\displaystyle 1/\gamma }$. Cette approximation est, par exemple, utilisée en physique des hautes énergies pour la modélisation des wakefields^[2].

Formule de Feynman-Heaviside

Des expressions équivalentes pour les champs E et B d'une charge ponctuelle en mouvement arbitraire ont été données dans les années 1950 par Richard Feynman dans le cadre de son cours de physique^[3] :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {-q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}+{\frac {r'}{c}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{r'}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {e} _{r'}\wedge {\frac {\mathbf {E} }{c}}}$

Ces formules ont été établies par Oliver Heaviside en 1902, et furent redécouvertes indépendamment par Richard Feynman aux environs de 1950^[4].

Ces expressions découlent elles aussi des potentiels de Liénard-Wiechert.

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En régime stationnaire, les potentiels V et A créés par une charge ponctuelle q se réduisent à :

${\displaystyle V={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {q\,\mathbf {v} }{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\,}$

Les champs électrique et magnétique qui en découlent sont donnés par :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

ce qui conduit à la loi de Coulomb pour le champ E et à la loi de Biot et Savart pour le champ B :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q\,\mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\,}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {n} \right)}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}\,}$

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Si l'on considère une charge ponctuelle q se déplaçant en mouvement rectiligne uniforme, sa vitesse ne dépend pas du temps. On a donc [v] = v, et les potentiels de Liénard-Wiechert deviennent :

${\displaystyle V={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {1}{[r]\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot [\mathbf {n} ]}{c}}\right)}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,{\frac {\mathbf {v} }{[r]\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot [\mathbf {n} ]}{c}}\right)}}}$

On peut ensuite réexprimer ces équations en fonction des grandeurs instantanées^[5] :

${\displaystyle V={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,{\frac {\mathbf {v} }{r{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}}}}}$

Les champs dérivant de ces potentiels sont :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q\,\mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\,{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )^{2}-v^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {n} \right)}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}\,{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )^{2}-v^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}={\frac {\mathbf {v} \wedge \mathbf {E} }{c^{2}}}\,}$

Si la charge se déplace à une vitesse faible devant celle de la lumière (v << c), on obtient, en effectuant un développement limité jusqu'à l'ordre (v² / c²), les résultats suivants :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q\,\mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\,\left(1+{\frac {v^{2}-3(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )^{2}}{2c^{2}}}\,\right)}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {n} \right)}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}\,}$

Observations

Le champ électrique obtenu n'est pas conservatif ; il est donc susceptible d'induire une tension électrique aux bornes d'un circuit fermé au repos.

Par ailleurs, le champ est atténué le long de l'axe du mouvement d'un facteur ${\displaystyle \gamma ^{2}}$, et est amplifié dans le plan transverse au mouvement d'un facteur ${\displaystyle \gamma }$. Le flux total du champ électrique quittant la charge reste le même que lorsque celle-ci est au repos (cette propriété découle de la loi de Maxwell-Gauss).

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Problème à 2 corps électromagnétiques

Il est possible de modéliser la collision entre deux particules relativistes à l'aide du potentiel de Liénard -Wiechert. Le problème s'appelle le problème à 2 corps électromagnétiques^[6],[7]. On résout alors les équations :

${\displaystyle m_{1}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{1}}}}{\mathrm {d} t}}=q_{1}\left({\vec {E_{2}}}+{\vec {v_{1}}}\wedge {\vec {B_{2}}}\right)}$

${\displaystyle m_{2}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{2}}}}{\mathrm {d} t}}=q_{2}\left({\vec {E_{1}}}+{\vec {v_{2}}}\wedge {\vec {B_{1}}}\right)}$

Les champs ${\displaystyle E_{1}}$,${\displaystyle E_{2}}$,${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle B_{2}}$ dérivant des potentiels de Liénard -Wiechert ci-dessus.

On peut montrer que l'expression exacte du champ de force engendré par une particule créant un potentiel de Liénard -Wiechert est ^[8] :

${\displaystyle {\vec {F}}/q={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r}{({\vec {r}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left\{\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {r}}\wedge ({\vec {u}}\wedge {\vec {a}})\right]+{\frac {\vec {v}}{c}}\wedge \left[{\vec {r}}\wedge \left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {r}}\wedge ({\vec {u}}\wedge {\vec {a}})\right]\right]\right\}}$

où on a posé ${\displaystyle {\vec {u}}=c{\frac {\vec {r}}{||r||}}-{\vec {v}}}$. Notons que les grandeurs ${\displaystyle {\vec {u}}}$,${\displaystyle {\vec {v}}}$,${\displaystyle {\vec {a}}}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}}$ sont évalués avec un instant retardé.