Potentiels retardés

On considère une distribution volumique arbitraire de charges et de courants électriques contenus dans un volume V de l'espace. Si l'on note respectivement ρ la densité volumique de charge électrique en chaque point du volume V, et J la densité volumique de courant électrique en chaque point du volume V, alors, en notant r la distance entre chaque point source et M, l'expression générale des potentiels retardés au point M est donnée par :

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'}$

avec : ${\displaystyle [\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$ et ${\displaystyle [\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}$

L'intérêt de ces potentiels est qu'ils permettent de calculer le champ électrique E et le champ magnétique B, en utilisant les relations :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

Si, dans ces équations, on remplace V et A par leurs expressions générales données précédemment, cela nous conduit aux équations de Jefimenko et aux équations de Panofsky-Phillips, qui permettent d'exprimer les champs E et B directement à partir de leurs sources (à savoir des densités de charge et de courant), sans passer par l'étape intermédiaire des potentiels.

Si l'on souhaite calculer les champs E et B produits par une charge ponctuelle animée d'un mouvement quelconque (au lieu de calculer les champs produits par une distribution volumique de charges et de courants), on pourra utiliser les potentiels de Liénard-Wiechert.

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On part des équations de Maxwell^[1],[2] :

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {E} \right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {B} \right)=0}$

${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

En 1858, Helmholtz a montré que n'importe quel champ vectoriel E peut être décomposé comme^[3] :

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathrm {irr} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rot} }}$

soit en une somme de deux champs vectoriels, l'un possédant un rotationnel nul (ce qui implique qu'il est conservatif, ou irrotationnel), et l'autre possédant une divergence nulle.

Ces deux composantes obéissent donc aux relations :

• ${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {irr} }\right)=\mathbf {0} }$

• ${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {rot} }\right)=0}$

C'est ce qu'on appelle la décomposition de Helmholtz. D'après le théorème de Helmholtz, ces champs peuvent s'exprimer en fonction d'un potentiel scalaire V et d'un potentiel vecteur A tels que :

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {irr} }=-\mathbf {grad} \!\left(V\right)}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {A} \right)}$

Tout champ vectoriel conservatif peut donc s'exprimer comme le gradient d'un champ scalaire, tandis que tout champ vectoriel à divergence nulle peut s'exprimer comme le rotationnel d'un champ vectoriel.

Dans ce contexte, l'équation de Maxwell-Thomson (div(B) = 0) nous montre que le champ B peut s'exprimer en fonction d'un potentiel vecteur A tel que :

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

En injectant cette expression dans l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)}$

ce qui implique :

${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=\mathbf {0} }$

En utilisant une nouvelle fois le théorème de Helmholtz, on peut alors introduire un potentiel scalaire V tel que :

${\displaystyle \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\mathbf {grad} \!\left(V\right)}$

On en déduit :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

Les équations de Maxwell-Thomson et de Maxwell-Faraday impliquent donc :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

Notons que dans ces expressions, le champ B s'exprime automatiquement sous la forme d'une décomposition de Helmholtz, tandis que le champ E ne le fait que si on fixe la condition div(A)=0, ce qui est le cas de la jauge de Coulomb^[4] mais pas de celle de Lorenz.

Une fois ces relations trouvées, il faut déterminer les expressions des potentiels V et A en fonction des sources apparaissant dans les équations de Maxwell, c'est-à-dire ρ et J. Pour cela, on va utiliser les deux autres équations de Maxwell, c'est-à-dire l'équation de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère :

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {E} \right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

Il s'agit des équations de Maxwell avec sources. Dans ces équations, on va remplacer les champs E et B par leurs expressions en fonction des potentiels V et A, déterminées précédemment. On obtient respectivement :

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(-\mathbf {grad} \!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} (V)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)}$

On peut ensuite réarranger ces expressions de manière à faire apparaître les sources (ρ et J) à droite du signe égal, et les potentiels (V et A) à gauche :

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {grad} \!\left(V\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\operatorname {div} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \mathbf {grad} \!\left(-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)-\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\,\mathbf {J} }$

On va ensuite chercher à faire disparaître A dans la première équation, et V dans la seconde équation. Pour ce faire, on peut fixer une certaine relation de jauge entre V et A, la jauge de Lorenz :

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {A} \right)=-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial V}{\partial t}}}$

On obtient alors :

${\displaystyle \operatorname {div} \!\left(\mathbf {grad} \!\left(V\right)\right)-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \mathbf {grad} \!\left(\operatorname {div} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)-\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\,\mathbf {J} }$

Dans ces expressions, on peut ensuite faire apparaître le laplacien scalaire ΔV et le laplacien vectoriel ΔA, dont on rappelle les définitions :

${\displaystyle \Delta V=\operatorname {div} \!\left(\mathbf {grad} \!\left(V\right)\right)}$

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\mathbf {grad} \!\left(\operatorname {div} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)-\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {A} \right)\right)}$

Cela nous donne :

${\displaystyle \Delta V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\,\mathbf {J} }$

On obtient des équations de propagation (nommées « équations de d'Alembert avec second membre »), dont les solutions s'écrivent, en appliquant aux sources (ρ, J) la fonction de Green retardée de l’opérateur de d’Alembert :

${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'}$