Presque tous
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En mathématiques, le terme « presque tous » signifie « tous sauf une quantité négligeable ». Plus précisément, si 
En revanche, " presque aucun " signifie "une quantité négligeable", c'est-à-dire que "presque aucun élément de
Signification prévalente
Dans plusieurs domaines des mathématiques, « presque tous » est parfois utilisé pour signifier « tous (les éléments d'un ensemble infini), à l'exception d’un nombre fini [1],[2]. » Cette utilisation se produit également en philosophie[3]. De même, « presque tous » peut signifier « tous (les éléments d'un ensemble non dénombrable), à l'exception d’un ensemble dénombrable [sec 2]. »
Exemples :
- presque tous les nombres entiers positifs sont supérieurs à 1 000 000 000 000[4] ;
- presque tous les nombres premiers sont impairs (car 2 est la seule exception)[5] ;
- presque tous les polyèdres sont irréguliers (car il n'y a que neuf exceptions: les cinq solides platoniques et les quatre polyèdres de Kepler – Poinsot) ;
- si P est un polynôme non nul, alors P (x) ≠ 0 pour presque tous les x (sinon tous les x).
Signification dans la théorie de la mesure
Quand on parle des réels, parfois «presque tous» peut signifier «tous les réels à l'exception d'un ensemble de mesure nulle »[6],[7],[sec 3]. De même, si S est un ensemble de réels, "presque tous les nombres de S " peut signifier "tous les nombres de S sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle "[8]. La ligne réelle peut être considérée comme un espace euclidien unidimensionnel. Dans le cas plus général d'un espace à n dimensions (où n est un entier positif), ces définitions peuvent être généralisées à "tous les points sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle"[sec 4] ou "tous les points de S sauf ceux d'un ensemble de mesure nulle "(cette fois, S est un ensemble de points dans l'espace)[9]. Plus généralement encore, «presque tout» est parfois utilisé dans le sens de « presque partout » dans la théorie de la mesure[10],[11],[sec 5], ou dans le sens étroitement lié de « presque sûrement » en théorie des probabilités[11] [sec 6].
Exemples :
- dans un espace mesuré, comme la droite des réels, les ensembles dénombrables ont une mesure nulle. L'ensemble des nombres rationnels est dénombrable, donc presque tous les réels sont irrationnels[12] ;
- comme l'a prouvé Georg Cantor dans son premier article sur la théorie des ensembles (en), l'ensemble des nombres algébriques est aussi dénombrable, donc presque tous les réels sont transcendants[13],[sec 7] ;
- presque tous les réels sont normaux[14] ;
- l'ensemble de Cantor a aussi une mesure nulle, donc presque tous les réels ne sont pas contenus dans celui-ci, même s'il est indénombrable[6] ;
- la dérivée de la fonction de Cantor est nulle pour presque tous les nombres dans
. Ceci découle de l'exemple précédent car la fonction de Cantor est constante localement, et a donc une dérivée nulle en dehors de l'ensemble de Cantor.
Signification en théorie des nombres
En théorie des nombres, "presque tous les entiers positifs" peut signifier "les entiers positifs dans un ensemble dont la densité naturelle est 1". Autrement dit, si A est un ensemble d'entiers positifs, et si la proportion d'entiers positifs dans A en dessous de n (sur tous les entiers positifs inférieurs à n) tend vers 1 alors que n tend vers l'infini, alors presque tous les entiers positifs sont dans A[15],[16],[sec 8].
Plus généralement, soit S un ensemble infini d'entiers positifs, tels que l'ensemble des nombres positifs pairs ou l'ensemble des nombres premiers, si A est un sous-ensemble de S, et si la proportion d'éléments de S inférieurs à n qui sont dans A (sur tous les éléments de S en dessous de n) tend vers 1 alors que n tend vers l'infini, alors on peut dire que presque tous les éléments de S sont dans A.
Exemples :
- la densité naturelle des ensembles de cofinite d'entiers positifs est 1, donc chacun d'eux contient presque tous les entiers positifs ;
- presque tous les entiers positifs sont composites[sec 8],[17] ;
- presque tous les nombres même positifs peuvent être exprimés comme la somme de deux nombres premiers[4] ;
- presque tous les nombres premiers sont isolés . De plus, pour tout entier positif g, presque tous les nombres premiers ont des intervalles premiers de plus de g fois à leur gauche et à leur droite ; c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'autres nombres premiers entre p − g et p + g[18].
Signification en théorie des graphes
En théorie des graphes, si A est un ensemble de graphes (étiquetés finis), on peut dire qu'il contient presque tous les graphes, si la proportion de graphes avec n sommets qui sont dans A tend vers 1 alors que n tend vers l'infini[19]. Cependant, il est parfois plus facile de travailler avec des probabilités[20] donc la définition est reformulée comme suit. La proportion de graphes avec n sommets qui sont dans A est égale à la probabilité qu'un graphe aléatoire avec n sommets (choisis avec la distribution uniforme) soit dans A, et choisir un graphe de cette manière a le même résultat que de générer un graphe en retournant un coin pour chaque paire de sommets pour décider de les connecter[21]. Par conséquent, de façon équivalente à la définition précédente, l'ensemble A contient presque tous les graphes si la probabilité qu'un graphe généré par le retournement de pièces avec n sommets soit dans A tend vers 1 alors que n tend vers l'infini[20],[22]. Parfois, la dernière définition est modifiée de sorte que le graphe est choisi au hasard d'une autre manière, où tous les graphes avec n sommets n'ont pas la même probabilité[21], et ces définitions modifiées ne sont pas toujours équivalentes au principal.
L'utilisation du terme «presque tout» dans la théorie des graphes n'est pas standard ; le terme « asymptotiquement presque sûrement » est plus couramment utilisé pour ce concept[20].
Exemple:
- presque tous les graphiques sont asymétriques[19] ;
- presque tous les graphiques ont un diamètre 2[23].
Signification en topologie
En topologie[24] et en particulier en théorie des systèmes dynamiques [25],[26],[27] (y compris des applications en économie)[28], « presque tous » les points d'un espace topologique peuvent signifier « tous les points de l'espace mais ceux dans un maigre ensemble ». Certains utilisent une définition plus limitée où un sous-ensemble ne contient presque tous les points de l'espace que s'il contient un ensemble dense ouvert[26],[29],[30].
Exemple :
- étant donné une variété algébrique irréductible, les propriétés qui sont valables pour presque tous les points de la variété sont exactement les propriétés génériques[sec 9]. Ceci est dû au fait que dans une variété algébrique irréductible équipée de la topologie Zariski, tous les ensembles ouverts non vides sont denses.
Signification en algèbre
En algèbre abstraite et en logique mathématique, si U est un ultrafiltre sur un ensemble X, "presque tous les éléments de X " signifie parfois "les éléments d'un élément de U "[31],[32],[33],[34]. Pour toute partition de X en deux ensembles disjoints, l'un d'eux contiendra nécessairement presque tous les éléments de X. Il est possible de penser que les éléments d'un filtre sur X contiennent presque tous les éléments de X, même s'il ne s'agit pas d'un ultrafiltre[34].
Voir également
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Almost all » (voir la liste des auteurs).
Sources primaires
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- ↑ Paul-Jean Cahen et Jean-Luc Chabert, Non-Noetherian Commutative Ring Theory, vol. 520, Springer, coll. « Mathematics and Its Applications », (1re éd. First published 2000) (ISBN 978-1-4419-4835-9, DOI 10.1007/978-1-4757-3180-4), « Chapter 4: What's New About Integer-Valued Polynomials on a Subset? », p. 85
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Sources secondaires
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