Processus adapté

Soient

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ un espace de probabilité ;
• ${\displaystyle I}$ l'ensemble des indices (souvent ${\displaystyle I}$est ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle [0,T]}$ou ${\displaystyle [0,+\infty )}$)
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\cdot }=\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$une filtration de la σ-algèbre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$;
• ${\displaystyle (S,\Sigma )}$un espace mesurable, l'espace d'états ;
• ${\displaystyle X:I\times \Omega \to S}$ un processus stochastique .

Le processus ${\displaystyle X}$ est dit adapté à la filtration ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$ si la variable aléatoire ${\displaystyle X_{i}:\Omega \to S}$ est une ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )}$- fonction mesurable pour chaque ${\displaystyle i\in I}$^[2].

• Processus prévisible
• Processus progressivement mesurable