Propagation anormale

Indice de l'air en fonction de la température^[1]

Température	Indice
−20 °C	1,00031489
−10 °C	1,000302844
0 °C	1,000291647
10 °C	1,000281196
20 °C	1,000271373

L'indice de réfraction (n) dans le vide est 1 mais dans de l'air il n'est pas une constante : il évolue notamment avec la température (T) et la pression atmosphérique (p), ainsi que la pression de vapeur d'eau (e) et plus généralement la composition de l'air. Les couches d'air froid par exemple sont plus denses et de ce fait leur indice est plus fort car l'indice évolue proportionnellement à la pression et inversement proportionnellement à la température. La superposition de couches d'air de plus en plus chaudes ou froides crée un gradient de température et de pression et donc d'indice pour l'air varie.

L'indice de réfraction avec les données de radiosondage de T, p et e peut-être généralement calculée avec la formule^[2] :

${\displaystyle n=1+77,6{\frac {p}{T}}+3,73\times 10^{5}{\frac {e}{T^{2}}}}$.

La loi de Descartes montre comment la variation de l'indice courbe une onde électromagnétique : ${\displaystyle n_{1}\sin {(i)}=n_{2}\sin {(r)}}$ où :

• n₁ est l'indice du milieu d'où provient le rayon
• n₂ est l'indice du milieu dans lequel le rayon est réfracté
• i est l'angle d'incidence du rayon, c'est-à-dire l'angle que forme le rayon avec la normale à la surface. Ici, on peut assimiler la normale à la direction du gradient.
• r est l'angle de réfraction du rayon, c'est-à-dire l'angle que forme le rayon réfracté avec la direction du gradient.

Dans son état normal et « stable » une colonne d'air dans l'atmosphère standard, l'indice varie ainsi avec un gradient de température d'environ −1 × 10⁻² °C m⁻¹ ; le gradient est négatif car la température a tendance à diminuer avec l'altitude. Ce gradient d'indice de l'atmosphère provoque des phénomènes dit de réfraction atmosphérique faisant que des objets situés légèrement sous la ligne d'horizon sont visibles.

Une approche générale du phénomène demande que l'on considère la propagation d'un rayon lumineux dans un milieu inhomogène, dont l'indice varie comme une fonction continue des coordonnées du milieu ${\displaystyle n({\vec {r}})}$. La fonction est continue car les changements de température ou de pression, même brusques, sont soumis aux phénomènes de conduction, convection, et sont donc d'un ordre de grandeur largement supérieur à la longueur d'onde de la lumière^[3]. Dans ces conditions l'eikonal de l'onde suit la loi suivante : ${\displaystyle S({\vec {r}})=constante}$.

Soit l'abscisse curviligne ${\displaystyle s}$, le rayon lumineux est donc décrit par ${\displaystyle {\vec {r}}(s)}$. Par définition, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est tangent au rayon :

${\displaystyle {\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}={\vec {u}}={\dfrac {{\vec {\nabla }}S}{n}}}$

On en déduit l'équation générale d'un rayon lumineux dans un milieu d'indice ${\displaystyle n({\vec {r}})}$ :

${\displaystyle {\dfrac {d}{ds}}\left(n{\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}\right)={\vec {\nabla }}n}$

Équation qu'il est possible d'utiliser pour tout type de gradient d'indice, comme pour les lentilles à gradient d'indice^[3]. Le problème est simplifiable dans certains cas particuliers comme en présence d'un gradient constant, le long d'un seul axe, etc. Ainsi quelques solutions peuvent être trouvées analytiquement mais la plupart des solutions de cette équation, surtout dans le cas d'un milieu inhomogène et variant de manière complexe en x, y, et/ou z amènent à des résolutions fastidieuses et numériques.