Somme de Kloosterman

Les sommes de Kloosterman peuvent être vues comme des analogues sur l'anneau Z/nZ des fonctions de Bessel. Elles apparaissent, par exemple, dans le développement de Fourier des formes modulaires.

Elles ont des applications dans les estimations en moyenne de la fonction zêta de Riemann, le comptage de nombres premiers dans les petits intervalles, ou la théorie spectrale des formes automorphes.

• Lorsque a = 0 ou b = 0, la somme de Kloosterman devient une somme de Ramanujan.
• ${\displaystyle K(a,b;m)}$ ne dépend que de la classe de résidu de a et b modulo m, et l'on a ${\displaystyle K(a,b;m)=K(b,a;m)}$. De plus, lorsque pgcd(c, m) = 1, alors${\displaystyle K(ac,b;m)=K(a,bc;m).}$
• Lorsque m = m₁m₂ avec pgcd(m₁, m₂) = 1, alors pour tout choix de n₁ et n₂ tels que n₁m₁ ≡ 1 mod m₂ et n₂m₂ ≡ 1 mod m₁, on a${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$Cela réduit le calcul des sommes de Kloosterman au cas où le module m est une puissance d'un nombre premier.
• La valeur de K(a, b; m) est toujours un nombre réel algébrique. C'est un élément du corps de nombres engendré par les racines de l'unité ζ_p^α où p^α|m.
• L'identité de Selberg :${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid {\rm {pgcd}}(a,b,m)}dK{\Big (}{\frac {ab}{d^{2}}},1;{\frac {m}{d}}{\Big )}}$fut énoncée par Atle Selberg et démontrée pour la première fois par Kuznetsov en utilisant la théorie spectrale des formes modulaires. De nos jours, des preuves élémentaires sont connues^[3].
• Lorsque p est un nombre premier impair, on ne connaît pas de formule simple pour K(a, b; p), et la conjecture de Sato-Tate suggère qu'il n'en existe pas.
• Lorsque m = p^k avec k > 1 et p un nombre premier impair, et lorsque pgcd(p, ab) = 1, alors${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {ab}{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}{\rm {e}}^{\frac {4\pi {\rm {i}}ab}{m}}\right)&{\text{si }}\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$où ε_m est défini par la formule :${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&{\text{si }}m\equiv 1\mod 4,\\{\rm {i}}&{\text{si }}m\equiv 3\mod 4.\end{cases}}}$Cette formule fut découverte pour la première fois par Hans Salié (de)^[4] et il en existe de nombreuses preuves simples dans la littérature^[5].

Les sommes des Kloosterman interviennent dans l'expression des coefficients de Fourier de certaines formes modulaires. De ce fait, des majorations des sommes de Kloosterman impliquent des majorations des coefficients de Fourier de formes modulaires. La plus connue est due à André Weil et stipule^[6] :

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {{\rm {pgcd}}(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

Ici τ(m) est le nombre de diviseurs de m. Grâce aux propriétés de multiplicativité des sommes de Kloosterman (l'identité de Selberg précitée), ainsi que l'estimation de Salié, cette estimation se déduit du cas où m=p est un nombre premier. Une technique fondamentale de Weil déduit l'estimation

${\displaystyle K(a,b;p)\leq 2{\sqrt {p}}}$

lorsque ab ≠ 0 de ses résultats sur les fonctions zêtas locales. Le point de vue géométrique est que la somme est effectuée le long de l'hyperbole

XY = ab

et cette équation définit une courbe algébrique sur le corps fini à p éléments. Cette courbe a un revêtement d'Artin-Schreier ramifié C, et Weil a montré que la fonction zêta locale de C est une fraction rationnelle. C'est la théorie des fonctions L d'Artin pour le cas des corps globaux qui sont des corps de fonctions. Weil donna en référence pour cette idée un papier de Johannes Weissinger (de) datant de 1938, et un peu plus tard, un papier de Helmut Hasse datant de 1935. Les parties non polaires de la fonction zêta en question sont de la forme 1 − Kt, où K est une somme de Kloosterman. La majoration ci-dessus découle donc de son hypothèse de Riemann pour les courbes sur un corps fini, que Weil démontra en 1940^[7]. Cette technique permet de montrer de façon plus générale que des sommes exponentielles paramétrées par des variétés algébriques vérifient de bonnes majorations, découlant des conjectures de Weil en dimension supérieure à 1. Cela est lié aux travaux de Pierre Deligne, Gérard Laumon et Nicholas Katz.

La formule de Kuznietsov ou formule des traces relative exprime un lien profond entre les sommes de Kloosterman et la théorie spectrale des formes automorphes. Cela peut être exprimé comme suit. Soit g : R₊→C une fonction dont le support est compact et ne contient pas 0, et r un réel positif. Sous certains conditions relativement générales, il existe des identités du type :

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0\mod N}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{transformée intégrale}}\ +\ {\text{partie spectrale}}.}$

La transformée intégrale est l'image de g par un certain opérateur intégral, et la partie spectrale est une somme de coefficients de Fourier, pris sur des espaces de formes modulaires holomorphes et non holomorphes, et pondérés par d'autres transformées intégrales de g. La formule des traces relative de Kuznietsov fut découverte par N. V. Kuznetsov dans le cadre de l'étude du comportement asymptotique des coefficients de Fourier des fonctions automorphes de poids nul^[8]. En utilisant des estimations sur les sommes de Kloosterman, il put en déduire des majorations de coefficients de Fourier de formes modulaires dans des situations où la preuve de Deligne des conjectures de Weil ne s'applique pas.

Cette formule fut plus tard traduite par Hervé Jacquet dans le cadre de la théorie des représentations. Soit G un groupe réductif sur un corps de nombres F et H un sous-groupe de G. Alors que la formule des traces de Selberg concerne l'analyse harmonique sur G, la formule des traces relative est un outil permettant d'aborder l'analyse harmonique sur l'espace symétrique G/H^[9].