Statistiques directionnelles

Une distribution circulaire représente une variable aléatoire prenant ses valeurs sur un cercle. On considère généralement son paramètre θ comme un angle compris entre 0 et 2π ou entre –π et π.

Toute fonction de densité de probabilité ${\displaystyle f(x)}$ définie sur R peut être enveloppée sur un cercle-unité^[3] : la fonction de densité ${\displaystyle f_{c}(\theta )}$ de la variable angulaire ${\displaystyle \theta =x{\bmod {2}}\pi }$ est la somme de toutes valeurs f(x) où la valeur de x correspond à l'angle θ, soit :

${\displaystyle f_{c}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(\theta +2k\pi )}$.

Ce concept peut être étendu à une variable à n composantes θ en sommant n fois sur chaque dimension.

${\displaystyle f_{c}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{+\infty }\cdots \sum _{k_{n}=-\infty }^{+\infty }f({\boldsymbol {\theta }}+2k_{1}\pi \mathbf {e} _{1}+\cdots +2k_{n}\pi \mathbf {e} _{n})}$,

où les e_k sont les vecteurs de la base canonique.

Voici quelques distributions circulaires courantes.

Dans cette distribution, chaque angle est équiprobable : la densité de probabilité de la distribution circulaire uniforme est

${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}}$ avec ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi [}$.

La densité de probabilité correspondant à une loi normale enveloppée (notée WN pour wrapped normal distribution) selon le procédé décrit ci-dessus est :

${\displaystyle WN(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {-(\theta -\mu -2k\pi )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} ,

où μ et σ sont respectivement la moyenne et l'écart-type de la distribution normale sous-jacente.

On peut également l'écrire au moyen de la fonction thêta de Jacobi ${\displaystyle \vartheta }$:

${\displaystyle WN(\theta$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\rm {i}}{\frac {\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)} .

La densité de probabilité correspondant à une loi de Cauchy enveloppée (notée WC pour wrapped Cauchy distribution) est :

${\displaystyle WC(\theta$ ;\theta _{0},a)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {a}{\pi (a^{2}+(\theta -\theta _{0}+2k\pi )^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\sinh a}{\cosh a-\cos(\theta -\theta _{0})}}} ,

où θ₀ est le paramètre de position (c'est-à-dire l'angle correspondant au pic de densité) et a le paramètre d'échelle de la distribution.

La densité de probabilité correspondant à une loi de Lévy enveloppée (notée WL pour wrapped Lévy distribution) est :

${\displaystyle WL(\theta$ ;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {\exp({\frac {-c}{\theta -\mu +2k\pi }})}{(\theta -\mu +2k\pi )^{\frac {3}{2}}}}} ,

en considérant comme nulles les valeurs du terme de la somme pour lesquelles ${\displaystyle (\theta -\mu -2k\pi )\leq 0}$, où μ est le paramètre de position et c, le paramètre d'échelle de la distribution.

Contrairement aux distributions enveloppées vues plus haut, la distribution de von Mises est définie directement sur un cercle. Elle est donc particulièrement utile en statistiques circulaires car le calcul de sa fonction de densité ne fait pas intervenir de somme infinie. Si on peut la considérer comme une version enveloppée d'une fonction de distribution sur R, il n'existe pas de formule fermée pour cette distribution.

Elle possède des paramètres similaires à la loi normale : une moyenne μ et une concentration κ dont l'inverse 1/κ est analogue à la variance σ² d'une loi normale, ce qui amène parfois à la qualifier de "loi normale circulaire"^[4]. Elle est également une bonne approximation de la loi normale enveloppée. Sa fonction de densité est donnée par :

${\displaystyle f(\theta$ ;\mu ,\kappa )={\frac {\exp(\kappa \cos(\theta -\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa )}}} ,

où I₀ est la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0.

À noter que la loi circulaire uniforme est un cas particulier de la loi de von Mises pour κ = 0.

Il existe des distributions définies sur une sphère (surface de dimension 2), par exemple la loi de Kent^[5], ou plus généralement sur une N-sphère comme la loi de von Mises-Fisher^[6], sur un tore (loi de von Mises bivariée) ou sur une variété de Stiefel (loi de von Mises-Fisher matricielle).

La loi de Bingham est une distribution sur les droites passant par l'origine en dimension N, ou de manière équivalente, sur un hémisphère de la (N – 1)-sphère, ou encore une (N – 1)-sphère dont les points antipodaux sont identifiés^[7]. Par exemple, une loi de Bingham pour N = 2 peut représenter une distribution de droites non orientées passant par l'origine dans le plan (chaque droite coupant le cercle-unité, c'est-à-dire la 1-sphère, en deux points diamétralement opposés). Pour N = 4, c'est une distribution sur la 3-sphère des quaternions unitaires, ce qui correspond à une représentation des rotations en dimension 3. Cela permet d'utiliser cette distribution sur l'espaces des rotations en 3D.

Ces distributions sont utilisés par exemple en géologie^[8], en cristallographie^[9] ou bien en bio-informatique pour l'étude de la structure des protéines^[10].