Structure de groupe et axiome du choix
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En mathématiques, un groupe est un ensemble muni d'une opération binaire appelée multiplication, satisfaisant les axiomes de groupe. L'axiome du choix est un axiome de la théorie ZFC qui équivaut à ce que tout ensemble puisse être bien ordonné.
Dans ZF, c'est-à-dire ZFC sans l'axiome du choix, les énoncés suivants s'équivalent :
- Pour tout ensemble non vide X il existe une opération binaire • telle que (X, •) soit un groupe.
- L'axiome du choix est vrai.
Un ensemble fini peut toujours être muni d'une structure de groupe cyclique, engendré par n'importe quel élément ; cela ne dépend pas de l'axiome du choix. La question se pose surtout pour les ensembles infinis.
L'axiome du choix implique que si est infini, l'ensemble de ses parties finies a le même cardinal que . Or , muni de la différence symétrique, est un groupe, donc par transport de structure (en) aussi. On peut également utiliser , le groupe libre sur , qui est en bijection avec sous l'axiome du choix.
On peut aussi voir ce résultat comme une conséquence du théorème de Löwenheim-Skolem, qui montre que la théorie des groupes possède des modèles de toute cardinalité.
Une structure de groupe implique l'axiome du choix
Dans cette section, on suppose que tout ensemble X non-vide peut être muni d'une structure de groupe (X, •).
Soit X un ensemble. Soit ℵ(X) l'ordinal de Hartogs de X. C'est le plus petit cardinal tel qu'il n'y ait pas d'injection de ℵ(X) dans X ; il existe sans l'axiome du choix. Supposons par l'absurde que X ne soit pas en bijection avec un ordinal (ce qui est la négation du théorème de Zermelo). Soit • une opération qui fait de (X ∪ ℵ(X), •) un groupe.
Montrons que pour tout x ∈ X il existe un α ∈ ℵ(X) tel que x • α ∈ ℵ(X). En effet, par l'absurde, si ce n'est pas le cas il existe un y ∈ X tel que y • α ∈ X pour tout α ∈ ℵ(X). Mais les y • α sont tous distincts lorsque α parcourt ℵ(X). Aussi, un tel y donne une injection de ℵ(X) dans X, ce qui est absurde par définition de ℵ(X).
Définissons maintenant une application j de X dans ℵ(X) × ℵ(X), muni de l'ordre lexicographique, en envoyant x ∈ X sur le plus petit couple (α, β) ∈ ℵ(X) × ℵ(X) tel que x • α = β. Une telle application j est unique et injective. Enfin, définissons un bon ordre sur X par x < y si j(x) < j(y). Alors X est bien ordonné, ce qui est une contradiction[1],[2].
Remarque : dans cette preuve, on aurait pu remplacer la structure de groupe par celle de quasigroupe.
