Test d'homogénéité

Dans sa forme la plus simple, un test d'homogénéité consiste^[1] à déterminer si deux échantillons indépendants ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\sim P}$ et ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}\sim Q}$ tirés chacun de manière i.i.d. sont issus de la même distribution de probabilité, c'est-à-dire à tester l'hypothèse nulle ${\displaystyle H_{0}:P=Q}$ contre une hypothèse alternative ${\displaystyle H_{1}:P\neq Q}$.

Les hypothèses exactes sur les échantillons varient toutefois selon les tests.

La définition peut naturellement être généralisée à plus de deux échantillons.

Les tests d'homogénéité paramétriques incluent notamment :

• les tests basés sur la loi t de Student ;
• les tests basés sur la loi T² d'Hotelling.

Parmi les tests d'homogénéité non-paramétriques, on peut citer :

• le test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons et le test de Cramer-Von Mises pour deux échantillons (tous deux pour des données en dimension 1, et basés sur la fonction de répartition empirique) ;
• le test du χ² d'homogénéité ;
• le test de Wilcoxon-Mann-Whitney ;
• Les tests basés sur la distance moyenne maximale à noyau (MMD en anglais) ^[2], adaptés au cas des espaces euclidiens de dimension supérieure à 1 et qui peuvent être définis sur des espaces plus généraux.

La construction de tests d'homogénéité basés sur des distances à noyau est due à Gretton et. al^[3],[2].

La complexité en temps de ces tests étant élevée, de multiples approximations ont en été proposées, basées notamment sur l'utilisation de descripteurs aléatoires^[4].

• E. L. Lehmann, J. P. Romano, Testing statistical hypotheses, Springer, coll. « Springer texts in statistics », 2022, 4ᵉ éd. (ISBN 3-030-70577-3)

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