Test t de Welch

On considère deux populations. On y prend deux échantillons :

${\displaystyle X_{1}^{(1)},\dots ,X_{1}^{(N_{1})}}$

et

${\displaystyle X_{2}^{(1)},\dots ,X_{2}^{(N_{2})}}$.

On suppose que les échantillons suivent une loi normale ; le premier une loi normale d'espérance ${\displaystyle \mu _{1}}$ (et de variance quelconque) et le second une loi normale d'espérance ${\displaystyle \mu _{2}}$ (et de variance quelconque, potentiellement différente).

L'hypothèse nulle est ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}$.

La statistique de test est donnée par la formule suivante :

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

où ${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$, ${\displaystyle s_{i}^{2}}$ et ${\displaystyle N_{i}}$ sont respectivement la moyenne empirique de l'échantillon ${\displaystyle i}$, l'estimateur non-biaisé de sa variance et la taille de l'échantillon ${\displaystyle i}$. Contrairement au test t de Student, le dénominateur n'est pas basé sur une estimation de l'ensemble des variances.

Le calcul des degrés de liberté ν associés à cette estimation de la variance est approché par l'équation de Welch-Satterthwaite :

${\displaystyle \nu ={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}.\,}$

Ici ν_i = N_i –1, les degrés de liberté sont associés à la i^e estimation de la variance.