Mesure de Lebesgue en dimension infinie

On peut montrer que la mesure de Lebesgue λⁿ sur l'espace euclidien Rⁿ est localement finie, strictement positive et invariante par translation, c'est-à-dire que :

• tout point x de Rⁿ possède un voisinage ouvert N_x de mesure finie λⁿ(N_x) < +∞ ;
• tout ouvert non vide U de Rⁿ a une mesure positive λⁿ(U) > 0 ;
• si A est un sous-ensemble mesurable de Rⁿ, que T_h : Rⁿ → Rⁿ, T_h(x) = x + h est la translation de vecteur h, et que (T_h)_∗(λⁿ) est la mesure image de λⁿ par T_h, alors (T_h)_∗(λⁿ)(A) = λⁿ(A).

Ce sont ces trois propriétés qui rendent la mesure de Lebesque naturelle ; pour les besoins de l'analyse fonctionnelle, on aimerait disposer de mesures ayant ces propriétés dans des espaces de dimension infinie, comme les espaces L^p ou l'espace des chemins continus. Malheureusement, cela est impossible.

En 1946, John C. Oxtoby a démontré pour les groupes polonais^[1]:

sur un groupe polonais non localement compact ${\displaystyle G}$, il n’existe pas de mesure de Borel σ-finie et invariante à gauche ${\displaystyle \mu }$.

Ignorant du résultat d’Oxtoby, Wladimir N. Sudakow a ensuite démontré explicitement en 1959^[2]:

Sur l’espace vectoriel topologique ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\tau )}$ il n’existe pas de mesure de Borel σ-finie et invariante par translation.

En 1970, Chandra Gowrisankaran a fourni une généralisation du résultat d’Oxtoby^[3] :

Soit ${\displaystyle G}$ un groupe topologique hausdorffien et ${\displaystyle \mu }$ une mesure de Radon non triviale et invariante à gauche. Alors ${\displaystyle G}$ est localement compact.

Un espace vectoriel topologique n’est localement compact que s’il est de dimension finie. Il s’ensuit qu’une mesure de Lebesgue n’existe pas dans ce cas.

Soit (X, ||·||) un espace de Banach séparable de dimension infinie. Si μ est une mesure de Borel localement finie et invariante par translation sur X, μ est la mesure triviale, pour laquelle μ(A) = 0 pour tout ensemble mesurable A. De façon équivalente, toute mesure invariante par translation et non identiquement nulle donne une mesure infinie à tous les ouverts (non vides) de X.

Soit (X, ||·||) un espace de Banach séparable de dimension infinie, et μ une mesure de Borel localement finie et invariante par translation sur  X. Supposons que, pour un certain δ > 0, la boule ouverte B(δ) de rayon  δ soit de mesure finie. Comme X est de dimension infinie, il existe alors une suite de boules ouvertes disjointes deux à deux, B_n(δ/4), n ∈ N, de rayon δ/4, toutes contenues dans B(δ). L'invariance par translation assure que toutes ces boules ont la même mesure, et sont donc de mesure nulle, sinon la mesure de B(δ) serait plus grande que la somme des mesures des boules. Comme X est séparable, on peut le recouvrir par une réunion dénombrable de boules de rayon δ/4 ; la mesure de X est donc nulle et μ est la mesure triviale.

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En dépit du théorème précédent, certains sous-espaces compacts d'espaces de Banach peuvent être munis d'une mesure ayant de bonnes propriétés ; c'est par exemple le cas de groupes topologiques compacts (ou localement compacts), qui possèdent une mesure de Haar, ainsi que du cube de Hilbert.