Théorème d'Erdős-Anning
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En géométrie discrète, le théorème d'Erdős-Anning[1] établit que si une infinité de points d'un espace euclidien sont tous à des distances entières les uns des autres, alors ils sont alignés.
Nous devons ce théorème au mathématicien hongrois Paul Erdős et au mathématicien canado-américain Norman H. Anning.
On ne peut plus conclure que les points sont alignés si l'on demande seulement que toutes leurs distances soient rationnelles. Par exemple sur le cercle unité, les points d'affixe eia (–π < a ≤ π) avec cos(a/2) et sin(a/2) rationnels, c'est-à-dire tan(a/4) rationnel, sont à distances rationnelles les uns des autres car |eia – eib| = 2|sin(a⁄2 – b⁄2)|.
Plus généralement, un cercle contient un ensemble dense de points à distances rationnelles les uns des autres si et seulement si le carré de son rayon est rationnel[2].
Tout ensemble fini de points à distances rationnelles les uns des autres peut être transformé en un ensemble de points à distances mutuelles entières, par toute similitude dont le rapport est un dénominateur commun de ces distances rationnelles. Ceci permet de construire des ensembles finis arbitrairement grands de points non alignés à distances mutuelles entières, mais ce procédé ne s'adapte pas à un ensemble infini.
On ne sait pas s'il existe un ensemble dense de points du plan euclidien à distances mutuelles rationnelles[2].
