Matrice bistochastique
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En mathématiques, une matrice bistochastique ou doublement stochastique est une matrice carrée à coefficients réels positifs dont les sommes des éléments de chaque ligne et chaque colonne sont égales à 1.
Ces matrices sont utilisées en théorie des probabilités et en combinatoire.
Définition
Formellement, pour une matrice carrée réelle à coefficients positifs est bistochastique si et seulement si l'égalité suivante est vérifiée :
Les matrices bistochastiques sont aussi les matrices stochastiques dont la transposée est stochastique[1].
Propriétés
Polytope de Birkhoff et théorème de Birkhoff-von Neumann
L'ensemble des matrices bistochastiques de taille d est un polytope convexe dans l'ensemble des matrices carrées de taille d à coefficients réels, appelé polytope de Birkhoff. Les matrices de permutations sont clairement des points extrémaux de ce convexe. Le théorème de Birkhoff-von Neumann[2] établit que ce sont les seuls, ou encore (cf. théorème de Krein-Milman) que ce polytope est l'enveloppe convexe de l'ensemble des matrices de permutation.
Il en résulte que pour tout vecteur y de ℝd, l'ensemble des images de y par les matrices bistochastiques est égal à l'enveloppe convexe de l'ensemble des vecteurs obtenus en permutant les coordonnées de y. Inversement, on peut déduire le théorème de Birkhoff-von Neumann de cette égalité (qui constitue l'équivalence entre deux caractérisations de la majorisation, et peut se démontrer directement) :
Conjecture de Van der Waerden
En 1926, Van der Waerden conjectura que le permanent d'une matrice bistochastique de dimension n était supérieure à , valeur atteinte par la matrice ne contenant que des 1/n[3]. Des preuves de ce résultat ont été publiées, en 1980 par B. Gyires[4], et en 1981 par G. P. Egorychev[5],[6],[7] et D. I. Falikman[8]. Egorychev et Falikman ont remporté le prix Fulkerson en 1982 pour ces preuves[9].
Applications et utilisations
Les matrices bistochastiques apparaissent notamment dans l'inégalité de Muirhead, une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique[10] et dans les chaînes de Markov ayant une certaine symétrie.
